中考几何探究性问题研究

2019-05-28 09:23江苏省宜兴市实验中学

中学数学杂志 2019年8期

☉江苏省宜兴市实验中学刘媚

中考数学中，几何问题几乎占据“半壁江山”.在几何试题中，几何探究性问题最引人注目，在中考中主要出现以下三类问题：图形变换问题、动态几何问题和类比探究问题.本文分别加以举例说明，供大家参考.

一、图形变换问题

图形变换问题主要包括图形的轴对称、图形的平移及图形的旋转.在涉及图形变化的考题中，解决问题的方法较多，关键在于解决问题的着眼点，从恰当的着眼点出发，再根据图形变换的特点发现变化的规律很重要.近几年各地的中考试题中，有较多问题需要利用图形变换进行思考和求解.这类问题能更好地综合考查考生的思维品质，并具有很好的选拔与区分功能，是一个炙手可热的中考数学命题热点.

例1（1）如图1，在直角三角形ABC中，∠ABC是直角，先绕着点B将△ABC逆时针旋转90°后，得到△A1BC1；再绕着点C将△ABC顺时针旋转90°后，得到△A2B1C.最后连接C1B1，那么C1B1与BC的位置关系为______.

（2）如图2，当△ABC的最大角为锐角，且∠ABC=α（α≠60°）时，把△ABC仿照（1）中的变换方法旋转α，再连接C1B1，这时C1B1与BC具有怎样的位置关系？请证明你的结论.

图1

图2

图3

解析：（1）由旋转的有关性质，可知∠C1BC=∠B1CB=90°，BC1=BC=B1C，于是可推出CB1∥BC1，进一步可推知四边形BCB1C1是平行四边形，再由平行四边形的性质定理就可以推知所求的结论了.

（2）经过点C1作C1E∥B1C交BC于点E，由此得出∠C1EB与∠B1CB相等.根据旋转的有关性质知BC1=BC=B1C，且∠C1BC与∠B1CB相等，于是∠C1BC=∠C1EB.因为等角对等边，故C1B=C1E，进而C1E=B1C，于是四边形C1ECB1是平行四边形，最后由平行四边形的性质定理就可得到所求结论.

（3）设C1B1与BC之间的距离为h，根据已知条件就可得到相似比与面积比都等于底边的比，这样结论就容易得出了.

评析：本题考查旋转变换.图形变换是中考命题中的热点问题，也是难点问题，尤其是旋转变换.在具体问题的解答过程中，我们应恰当应用旋转变换的性质，抓住图形特征，开阔思路，化难为易.从本题可以看出，对于图形的旋转变换问题，我们不仅要学会借助推理，更要借助直觉和观察，在分析问题时要变换视角，让数学直觉更敏锐，观察更入木三分.

二、动态几何问题

动态几何问题，是探究几何图形（如点、直线、三角形、四边形）运动变化过程中与图形相关的某些量（如角度、线段、周长、面积及相关的关系）的变化或其中存在的函数关系的一类开放性题目.解答这类问题的关键是“动中求静”，并灵活运用有关数学知识加以解决.这类问题形式多样，难度较大，在中考中往往以压轴题的身份出现.

图4

图5

例2如图4，矩形ABCD的边AB上，有一个动点E从A出发，沿AB→BC方向移动，一旦点E与点C重合，马上停止移动，过点E作FE⊥AE，交CD于F点，令点E移动路程的长度为x，FC=y，图5所表示的是y与x的函数关系的大致图像，当点E在BC上移动时，FC的最大长度是，那么矩形ABCD的面积是（）.

解析：点E在BC上时，如图6，由∠EFC与∠AEB互余，∠FEC与 ∠EFC互余，得∠CFE与∠AEB相等.

在△CFE和△BEA中，∠CFE=∠AEB，∠C=∠B=90°，所以△CFE △BEA.

图6

评析：几何与代数的综合，体现了数形结合思想，历来是中考命题热点.本题不仅考查二次函数的图像与性质，同时考查相似三角形的判定和性质及矩形面积的计算，试题体现了逻辑推理与数学运算的核心素养.

三、类比探究问题

类比是伟大的引路人.类比思想是数学探究中经常用到的思想方法，类比探究，也成为中考命题的重要考点.在中考试题中，类比探究问题的知识跨越大，综合性较强，命题立意高，题意新颖，构思精巧，追求考题深度和难度.解答这类问题，考生必须有扎实的基本功，以及善于思考、乐于钻研的创新能力.应在平时加强综合能力训练，只有这样，才能以不变应万变，才能在中考中顺利攻克这类问题.

例3（1）刘刚同学特别喜欢数学，尤其喜欢钻研数学竞赛题，下面这道题请你也不妨来做做看：

假如已知圆内接六边形ABCDEF的六条边长分别为3个3和3个5，那么该六边形ABCDEF的面积你会求吗？

刘刚同学采用“同圆中相等的弦所对的圆心角相等”，把六边形进行分割重组，得到图9.能求出六边形ABCDEF的面积等于______.

（2）继续类比探究：假如圆内接八边形各边长度分别为4个2和4个3.试求这个八边形的面积.同学们，请你仿照刘刚同学的做法，求出这个八边形的面积.