深刻理解函数概念，互动对话前后呼应——以“变量与函数（第1课时）”教学为例

☉江苏省张家港市梁丰初级中学 蒋建东

华东师大终身教授钟启泉先生说“‘教教材’还是‘用教材教’是新旧教学的分水岭”.笔者在最近一次教研活动中开设研讨课后，对钟教授这句教诲深有感受.这次教研活动中执教的课题是“变量与函数（第1课时）”，笔者没有完全“忠实”于教材，而是基于对数学内容的深刻理解，实施单元教学，取得了较好的教学效果.本文梳理该课主要流程，并简记评课环节的一些精彩片段和教后反思，供研讨.

一、“变量与函数（第1课时）”教学流程概述

活动1：实例分析，引出新知

实例1（1）用12米长的绳子围成一个正方形.你知道边长是多少米吗？

（2）用12米长的绳子围成一个长方形，对于宽的每一个确定的值，长都有唯一确定的值与其对应吗？

实例2图1是某地冬季某天气温随时间变化的曲线，图像中横轴t表示时间，纵轴T表示气温，它们是两个变量，对于t的每一个确定的值，T都有唯一确定的对应值吗？

图1

实例3汽车油箱中有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶的路程x（单位：km）的增加而减少，耗油量为0.1L/km.填表并回答.

表1

表1中每个确定的行驶的路程x（单位：km），都对应着一个确定的油箱中的油量y（单位：L）吗？

教学组织：从这三个实例出发，师生对话互动，学生一步步累积，归纳出函数概念，突出强调“一个变化过程中，两个变量，一个变量变化时，另一个变量随之唯一确定”，这是初中阶段函数概念的本质，引导学生通过不同的实际进行体会，最后归纳出函数概念.

活动2：思考归纳，建构概念

教学组织：在上面实例分析之后，提炼关键词“一个变化过程，两个变量，单值对应”，丰富、完善成函数定义，板书在黑板相应位置.并继续给出函数的三种常见形式（图像法、表格法、关系式法），再给出已知自变量求函数值等名词，安排学生整理笔记并初步理解.

活动3：例题训练，理解概念

针对实例1～3进行变式改编，以函数例、习题的方式呈现出来，让学生训练，以巩固理解概念，限于篇幅，略去.教师组织讲评时，注意引导学生“回到定义”进行理解.

活动4：回顾总结，完善结构化板书

师：这节课学习了哪些新的数学概念？请在小组内交流，并用几个关键词谈谈你对这些新概念的理解.

在学生小结的基础上，教师完善本课的“结构化板书”，见图2.

图2

二、评课意见摘选

评课老师1：本节课设计思路清晰，三个实例强调了对概念三要素的理解；课堂建构有条理性，有目标性，三个实例分别对应函数的三种表示方法；课堂内容层层推进又环环相扣，在研究自变量的取值范围时再次回顾“实例3”油耗问题，从而使学生清楚，自变量的取值范围还要看在实际问题中的意义.整节课可以用两个字形容：流畅.最后的小节中，教师用这样一句话引导学生进行小结：用几个关键词谈谈你对这些新概念的理解.让学生通过提取关键词来概括本节课的重点，能够加深学生对本节课知识的理解与提炼.

评课老师2：著名特级教师李庾南老师的“自学·议论·引导”教学并非是三部曲，自学是要发挥学生个体的力量，议论是发挥群体的力量，引导体现教师在课堂中的力量，帮助学生建构知识体系，进行“再创造”.函数概念的起始课，很难上，一般情况下，老师是直接抛出概念，指出关键词，然后学生开始练习.今天的课中，对于概念中的每一句话都逐步引导，逐条归纳，处理得很好.课堂中的引导非常流畅，精心设计，充分发挥了引导教学的关键.当然，也可再多给学生一点时间，让学生在思考、议论的过程中得知：在一个变化的过程中，为什么有两个变量，这两个变量有什么关系等.可以让学生设计一个长方形，有多少种？（无数种）为什么有无数种？（宽是可以任意变化的）让学生自己说出这是一个运动变化的过程.宽在变，长也在变，但不是乱变的，它们之间存在对应关系，从而引导学生自发地研究两个变量之间的关系.在实例2中，还可以这样设计问题：从图表中，你能读出什么信息？学生可能会说出时间在0～24之间，温度在哪个之间，这就便于我们引导出x、y的取值范围；学生还可能说出温度最高是多少，最低是多少，便于我们引出最大值、最小值的概念；还会说出几点时温度是多少，这就是x、y的对应问题.

三、教后思考

1.深刻理解函数概念，精心确定问题情境

函数是初中阶段的核心概念，然而对函数概念达到深刻理解并不容易.从教学观察来看，很多学生到了中考复习阶段，对函数的概念理解就是一次函数、二次函数或反比例函数，而对函数概念所体现的“变化过程，两个变量，单值对应”缺少本质理解.教师在函数概念起始阶段教学时需要精心选定问题背景，抽象提炼出函数本质，并从两个变量之间的对应关系出发帮助学生内化理解.从本课的教学来看，所选定的三个问题情境都是恰当的，也是不同版本教材都关注到的3种典型问题情境，值得利用.

2.师生互动归纳概念，例题训练前后呼应

在三个典型问题的驱动之下，师生互动对话，提取问题中的关键词句、数量关系，分析出函数概念的本质特征，进一步梳理归纳函数概念.然后将函数的相关概念如自变量、因变量、函数值、函数的几种不同形式等进行讲授，形成结构化板书，让学生记录整理.随后给出例、习题并进行理解与讲评，例题的情境呼应着开课阶段的3个问题情境，让学生容易理解，也加强了教学环节之间的呼应，体现了问题驱动的设计立意.

3.课堂小结关键词句，完善生成结构化板书

我们见到不少公开课的课堂小结都是程式化的“这节课你们学到了什么？你们有什么收获？你们感悟到什么思想方法”之类的空话、套话，而不是针对本课小结的有效设问.本课小结阶段，安排学生以关键词句来梳理小结本课所学，学生在精选关键词句时，就会思考本课所学，并进行归纳提炼，也就促使学生进行全课自主小结.在此基础上，教师对本课的板书进行梳理、结构化，把原来散见的一些知识点用线条连接组成互相关联的结构图，帮助学生对知识有系统化、结构化的认识和理解.

四、写在后面

变量与函数的起始课教过很多次，但以往都是常态的“教教材”或“一个概念、三项注意、大量练习”的习题导学，相对来说，这次变量与函数的教学加深了笔者对函数概念的深刻理解，也让自己知道：“内容简单、教过多次的课，自己对概念的理解不一定准确或深刻.”教学是需要研究的，特别是概念教学.