数形结合悟大小，经验连用得新知*——“有多大”的教学感悟

☉福建省厦门市五显中学 林振德

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（下称《课标（2011版）》对学生的估算能力提出了一定的要求.在人教版初中数学教材中，安排了不少近似取值计算的问题，这些问题的解决能较好地发展学生的估算能力.在“6.1平方根”一课中，更是安排了探索“有多大”的活动，直接指向了估算能力的培养，对学生数感的发展十分有利.然而，由于教材给出的是纯数字大小比较，对于没有相关经验的学生来说，想要得出被哪两个数夹在中间是十分困难的.为了帮助学生突破认知难点，笔者从教材给定的拼图实验出发，在经验的连用中实现数形结合，帮助学生较好地感知了的无理数“特质”.现呈现教学历程及个人的感悟，供大家参考.

1.拼图探究

学生活动1：用两个面积为1dm2的正方形拼成一个面积为2dm2的大正方形.

教师将边长为1dm的两个正方形贴在黑板上，并将面积与边长板书.学生给出“将两个正方形沿着对角线剪开，然后将四个直角三角形拼在一起，就是面积为2dm2的正方形”的方法，并利用教师给出的正方形形成图1中的拼图贴在黑板上.

图1

图2

学生活动2：用面积为2dm2的两个正方形拼成一个面积为4dm2的大正方形.

根据活动1的经验，学生很快给出图2中的结果，教师顺势将正方形的边长和面积进行了板书，最终形成图3所示板书.

图3

2.估算大小

通过刚才的拼图，我发现正方形的面积越大，其边长就越长；反之，正方形的边长越长，其面积也就越大.边长为1dm的正方形面积为1dm2；边长为dm的正方形面积为2dm2；边长为2dm的正方形面积为4dm2.图3中，三个正方形的面积由小到大排序为1＜2＜4，所以，其边长也应是1＜＜2.

教师肯定了学生的发现，并指出正方形的边长与它的面积有很大关系.进而让学生找出一个与更接近的数.学生猜想：1.2、1.3、1.4、1.5……

教师进一步追问，边长为1.4几的正方形的面积与2更接近呢？学生分组探究，分别用计算器计算1.41、1.42、1.43、…、1.49等9个数的平方，找寻出平方最接近2的数.3分钟后，不少小组给出结论：1.41＜＜1.42……

3.总结方法

二、教学过程简析

“估算大小”环节，教师引导学生反复经历由形的大小关系抽象出数的大小关系，再由数的大小关系感知形的大小.基于这样的经验连用，学生先后得到了1.4＜＜1.5、1.41＜＜1.42、1.414＜＜1.415等三个小数位数递增的越来越逼近的取值范围.这不仅让学生对的“无理”特性有了较深刻的认知，同时将数形关联的经验进一步巩固，使学生真正体会到数形结合的价值.

三、教后思考

1.注重数形结合，彰显关联价值

数形结合是一个非常重要的数学思想，在解决很多数学问题的过程中都会发挥重要的作用.而数与形的关联分析是其价值真正得以展现的基本形式.所以，在数学教学中，我们要重视数与形的关联，要注意让学生经历数向形转化或形向数转化的过程，因为只有有了这样的过程体验，学生才可能真正体会到数形结合思想的内在价值.在本文所述的片段中，学生首先从形的角度感知并抽象出数的大小关系式，再从数的角度体会到形的大小关系，这种基于形数对照下的大小关系对照比较对学生真正感知到数形关联的价值是非常有好处的.因此，教师在教学过程中始终以学生为主体，让他们自主拼图、合理猜想并计算验证，将数与形的内在联系很好地融入到学生自主探索的历程之中，再通过师生间的互动交流将这些内在联系逐步明晰，从而使整个探究活动紧扣教学目标尤其是本节课的能力目标奋力前行，取得较好的教学效果也在情理之中了.

2.立足活动经验，强化递进应用

数学知识的生成与应用一般都在数学活动之中.而在数学活动中，除了可以形成显性的数学基础知识与基本技能，还可能会有数学基本活动经验伴随着生成.这些活动经验是学生进一步开展数学活动的基础.因而，我们在探索新的数学知识时，要特别注重学生既得经验的再应用，让学生在熟悉的路径上探索并获得新的知识.正如第斯多惠所言“：教学的艺术不在于传授知识，而在于激励、唤醒、鼓舞.”数学教学的艺术也应是在唤醒旧的知识与经验的同时生成新的知识与经验.以本文所述片段为例，对于拼图尤其是拼正方形，学生在小学中就已经积累下较为丰富的操作经验，教学起始教师让学生进行拼图操作，这就是唤醒.在拼图过程中，学生的形变但面积不变、叠合等边、直角拼平角、（正方形）“形大边长”等方面的经验被逐一唤醒，而在接下来的教学中，教师并没有停留在这些经验知识中，而是将（正方形）“形大边长”这一经验强化应用，让学生对“有多大”的认知随着小数位数的递增不断加深，实现获取新知与固化经验的学习目标.

3.用好信息技术，优化探索历程

数学课，无论是新授课还是复习课，都应有课时教学重点.每节课的教学重点指向各不相同，有的指向数学的基础知识，有的指向数学的基本技能……虽然课时教学重点各有不同，但所有的教学内容和教学流程都应努力服务于教学重点的突破.因而，数学教学不应为课时边缘探索耗费太多的教学时间，可用现代信息手段替代边缘（与课时重点关联不大的）操作.比如，本节课上多个数的平方的计算，从1到1.4，再到1.41，再到1.414，这期间要算不下二十个数，如果不利用计算器，而是直接笔算，耗费的时间一定会很多，这无形中会让探索的重心偏移到平方运算结果的对错上去，而不再是介于哪两个数之间了.如此教学，显然无法突出本节课的教学重点，对课时目标的达成是十分不利的.在本节课上，除了简单的1、2这两个数的平方，其余各数的平方运算均利用计算器进行，极大地缩短了运算时间，为学生将时间用到数的大小比较上提供了可能，突出了教学重点，取得了较好的效果.F