建模教学：剖析关键词，建构关系式——基于一个引入问题建模教学的感悟

☉江苏省如皋市实验初中 周军莲

数学建模是“根据实际问题建立数学模型，对数学模型进行求解，然后根据结果解决实际问题”，它是初中生需要着力发展的核心素养之一，因而建模教学也应成为数学教学的重要内容.那么，建模教学的着力点在哪儿呢？笔者认为，应以问题情境的深入剖析为抓手.而深入剖析的最根本方法就是“抠字眼”，即深入分析例题中的关键词，明晰其含义并抽象出相关数学模型，形成问题解决的常用策略.这个模型建构的过程，对学生数学建模素养的发展是十分有效的，值得推广.本文拟结合一道教材新课引入题的教学历程，谈谈笔者对数学建模教学的感悟，供大家参考.

一、引入题分析

1.引入题呈现

问题：一辆匀速行驶的汽车在11：20时距离A地50km，要在12：00之前驶过A地，车速应满足什么条件？

2.引入题分析

（1）教学背景.

在人教版教材中，本题是“9.1.1不等式及其解集”的引入问题.在本节课之前的一个单元，教材安排的是二元一次方程组，重点探索了二元一次方程组的解法及其应用，其间，学生先后获得了方程（组）的恒等变形、规整简化、变形求值等知识.这些知识的获得，不仅为本节课的学习提供了知识铺垫，还为探索不等式及其相关知识积累了宝贵的经验，这些无疑为学生顺利从引入问题中建构出新的数学模型——不等式，并探索其解、解集铺平了道路.

（2）解题方法.

（3）教学预期.

对于这个引入问题，教材预设的流程是基于问题情境先建构出（2）中的两个不等式.然后，结合不等式②对x进行特殊取值，引出不等式的解.教材通过对多个满足不等式的x的值的讨论，逐步确定使不等式成立的x的范围，从而明确不等式的解集.整个教学过程中，两个不等式的建构是重点，也是难点.教学时，需要教师引导学生重点分析题目中的关键词，在文本含义明晰的过程中努力从文本中抽象出代数式，并把“12：00之前驶过”转化为用“＜”或“＞”表示的数学模型——不等式，从而为下一步探究其解及解集扫清障碍.

二、教学历程及简析

1.教学简录

教师首先投影问题，让学生自己尝试找出解决问题的思路.大约3分钟后，不少学生举手示意已经找到思路，教师立即组织学生全班交流.

师：题目中给出了哪些量？

生1：路程50km，时间40分钟.

师：你是怎么得到40分钟的？

生2：11：20到12：00恰好是40分钟.

师：对，时间为40分钟.那么，现在知道了路程和时间，还差什么？

生3：速度.

师：探索“车速应满足的条件”，这恰好是题目提出的要求.你们准备怎么办？

生4：设车速为xkm/h，然后想办法列式表示题目中的关系.

师：好的，你给出的这个速度单位与题目中给出的单位一致吗？

生5：不一致.

师：该怎么办？

生（齐）：转化呗！

师：转化结果是多少？

师：好的，在设出未知数，并顺利进行单位转化后，接下来就应该根据题中的语句抽象出关系式了.本题应该抓住哪句话探索关系式呢？

生7：12：00前驶过A地.

师：这句话什么意思？

师：你得到的式子是什么？

师：对于“12：00前驶过A地”，还可以怎么理解？

师：如何列式表示？

……

2.过程简析

教师引导学生从已知量入手，分析题中已经给定的数量，知道其中的50km是路程，而11：20到12：00之间的40分钟是汽车的行驶时间.接下来，便是对速度展开探索，教师用“你们准备怎么办”引导学生发现可以通过设未知数，建构含未知数的关系式来解决问题.在学生将速度和时间中的单位进行统一后，教师引导学生对“12：00前驶过A地”进行深入分析.由于探索的是“车速应具备的条件”，学生抓住路程和时间从两个角度分别对这句话进行分析，得出了“h行驶的路程超过50km”和“行驶50km所用的时间不足h”的结论，进而依托这两个结论抽象出不等式①和②.整个教学过程，教师引导学生从给定的文本出发，引导学生逐字逐词分析，努力在已知与未知之间搭建问题解决的路径，为下一步探索铺平道路，实现了很好的教学效果.

三、教学感悟

1.逐字分析，铺平数学模型建构路

读懂题目是建构数学模型的基础.因而，建模教学应从培养学生逐字逐词逐句分析题目的能力出发，使学生在对题目深入解读的基础上找到可以抽象数学模型的路径，从而实现模型建构能力、分析问题能力的同步提升.因此，课堂教学中，我们应注重对学生读题能力的培养，通过逐字逐句的分析示范，打通文本符号与数学模型之间的通道，从而不断提升学生数学建模的能力.在本文中的例题教学中，教师就是在引导学生对例题逐字逐词分析中找到相应的关系式的.这样的逐字分析能力正是在本学段前期学习一元一次方程和二元一次方程组时获得的，如果学生不具备这样的分析能力，两种不等式的得出就较为困难，而经历了本题的探索后，学生对行程问题中的不等关系又有进一步的认识，其从实际情境中建构不等式的能力又将得到一定程度的提升.

2.及时抽象，推动解读成果数学化

很多数学问题中都蕴含着丰富的生活情境.生活情境与数学知识之间的联系虽然紧密，但如果不进行及时、有效的抽象，问题的探索永远停留在实际情境中，我们是无法用所学的知识和方法加以解决的.因而，在建模教学中，教师要注重引导学生及时把发现的关系式用代数式、方程、不等式、函数等表示出来，形成真正的教学化模型.只有这种基于详实分析之上的即时抽象，才能让学生的抽象思维形成真正的成果，从而走在正确的解决问题之路上.还是说说本节课上的两个不等式吧，无论是不等式①，还是不等式②，都是源于学生所得出的对文本“12：00前驶过A地”进行解读的结果.教师追问“可以怎样列式”，恰到好处引着学生去抽象不等式，这必将推动学生获得的文本分析成果的数学化.

3.致敬经典，强化教材例题实践化

数学建模教学，例题选择是十分重要的.例题可以来自于教师的自主设计，也可以取材于现成的教学资料，而教材是教师进行教学的重要工具，其给出的例题堪称道道经典.因而，用好教材例题无疑给建模教学省去不少麻烦.在日常教学过程中，教师一定要注意教材例题价值的深度挖掘.通过深度解读，在真正理解例题的基础上，教师才能找出那些有利于学生发展的教材例题，使之成为数学建模素养的教学点，形成促进师生教学相长的起点.回到本文，笔者所选的例题就来自于教材，是教材编排课时教学的唯一例题，笔者在教学过程中不仅用了教材中的这道例题，而且将教材例题的预设流程进行了较好的教学应用，使之成为全课教学情境引入、探索新知、巩固应用的唯一问题，贯穿于教学始终.这种对教材经典例题的尊重是教师解读教材的成果，很好地诠释了“用教材教”的内涵.