初中数学教材中“生活情境”的解读之道*

2019-05-28 09:22江苏省无锡市新吴区教师发展中心浦叙德
中学数学杂志 2019年8期
关键词:坡度生活情境台阶

☉江苏省无锡市新吴区教师发展中心 浦叙德

随着数学学科核心素养目标写进普通高中数学课程标准,相信不远的将来,它也会进入义务教育数学课程标准.指向数学学科核心素养的教学总是根据数学的本质,创设匹配的教学情境,提出恰当的数学问题,启发学生的思考,通过情境的“数学化”获得数学知识,并形成和发展数学学科核心素养[1].课程内容的结构化与课程内容的情境化,可以促进数学学科核心素养的落实[2].可以断定,关于情境的研究依然会是今后一段时间内数学研究的热门话题.初中数学课堂教学中选取的情境一般有数学情境与生活情境两类[3].因为数学情境来自数学内部,体现知识之间的前后结构关联,所以对数学教师而言是显性的.课堂实践表明,教师对数学情境的解读比较到位.而生活情境来自数学外部的生活实际,体现的是生活中隐含的数学,所以对数学教师而言是隐性的.课堂教学表明,教师对生活情境的解读还是非常欠缺的,要么当花瓶摆设,很快滑过,要么抓旁枝末节,不达本质.所以非常有必要对生活情境的解读做一番研究.下面以苏科版九下“第7章锐角三角函数7.1正切”的生活情境为例,说明初中数学教材中生活情境的解读之道.

一、数学教材中的生活情境

如图1,某体育馆为了方便观众,设计了不同坡度的台阶.

1.在图2中,哪个台阶更陡?

图1

图2

2.在图3中,哪个台阶最陡?你是如何判断的?

图3

3.比较图4中的两个台阶,你有什么发现?

图4

二、生活情境的解读之道

现行苏科版初中数学教材上的生活情境,绝大部分既有情境又有问题,但有的只有情境没有初始问题,如正切的生活情境就不含初始问题.对于第二类,我们首先要根据生活情境创设一个指向本课研究核心的初始问题.如针对“某体育馆为了方便观众,设计了不同坡度的台阶”的生活情境,我们可以先设计如下的初始问题.

初始问题:某体育馆为了方便观众,设计了不同坡度的台阶.如果坡度太平,会影响后面观众的视线,而且需要体育馆有更大的面积,如果坡度太陡,观众观看时存在安全隐患.因此,台阶的坡度成了设计的关键.那么,坡度由什么决定呢?

1.从情境走向问题——借助生活现实解读

义务教育数学课程标准指出,呈现内容的素材应贴近学生现实[4],主要包括生活现实、数学现实、其他学科现实三方面.学生的后续学习总是基于已有的上述现实,生活情境中的实际生活经验有助于学生理解初始问题,对初始问题做出最初的直观判断,从而把学生逐步引向数学思维的正确轨道上.如上述生活情境,我们可以给出如下借助生活现实的解读,帮助学生从生活经验出发,走向要探究的问题.

解读1:图5中的两个台阶哪个更陡?

图5

对于数学中的坡度,学生还不是十分清楚它的内涵,但生活中台阶的陡学生是有经验的,如图5,学生很快就可以得出第二个台阶陡的结论,进而得出“坡度可以由倾斜角来决定!台阶的倾斜角度越大,台阶越陡;台阶的倾斜角度越小,台阶越平”的结论.

2.从生活走向数学——完成数学抽象解读

数学源于对现实世界的抽象,基于抽象结构,通过符号运算、形式推理、模型构建等,理解和表达现实世界中事物的本质、关系和规律.数学抽象包括从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构,并用数学语言予以表征等[2].生活情境不是数学,透过生活现象抓住数学本质的数学化过程才是情境的要义.如上述生活情境,我们可以给出如下完成数学抽象的解读,帮助学生从生活现象走向真正数学.

解读2:(1)图中哪个台阶更陡?你是如何判断的?

图6

如果沿用上面倾斜角的视角可以直观判断出第二个台阶比第一个台阶陡;也可以把第一幅图中的三角形平移到第二幅图1中去,显然由数学知识全量角大于部分角,得出第二个台阶陡;如果不借助生活经验和数学平移,我们只能借助高度与宽度,可以得出“坡度也可以由垂直高度与水平距离一起确定!当水平距离相同时,垂直高度越高,台阶越陡;垂直高度越小,台阶越平”的结论.如果只有垂直高度或水平距离一个量,能确定坡度吗?显然不行.

(2)图7中哪个台阶更陡?你是如何判断的?

图7

仿上可以得出“坡度也可以由垂直高度与水平距离一起确定!当垂直高度相同时,水平距离越短,台阶越陡;水平距离越长,台阶越平”的结论.

(3)图8中哪个台阶最陡?你是如何判断的?

图8

由上述(1)和(2)可知,第二个台阶最陡.得出“坡度也可以由垂直高度与水平距离一起确定”的结论,那么这两者又是如何一起确定这个坡度的呢?通过和差积商进行尝试,得出由垂直高度与水平距离之比确定.

(4)图9中哪个台阶更陡?你是如何判断的?

图9

这两个台阶的坡度直接借助倾斜角大小判断有点难度;直接借助垂直高度与水平距离确定也有一点难度;把问题抽象成数学,就是要比较两个直角三角形的相应锐角,如果把第一幅图中的三角形平移进第二幅图中,可以发现,这两个三角形构成两边对应成比例并且夹角相等的相似形,因此得到对应角相等,进而这两个台阶坡度一样.

综上所述,台阶的坡度可以直接借助倾斜角大小进行比较,倾斜角越大,台阶越陡;台阶的坡度也可以借助垂直高度与水平距离之比来确定,比值越大,台阶越陡.

3.从数学走向本质——利用逻辑推理解读

逻辑推理是指从一些事实和命题出发,依据规则推出其他命题的素养.从生活问题走到数学问题之后,数学要向前继续发展主要依靠数学的逻辑推理.如上述生活情境,我们借助生活现实、完成数学抽象后,就可以从数学内部视角进一步解读,引向问题的深处与数学本质.

解读3:上述五个问题,如果我们抽象成数学问题,相当于在研究一个直角三角形的问题.关于直角三角形,我们已经研究了什么呢?

(1)关于角:内角和、两锐角互余;(2)关于边:三边不等关系、周长、面积、勾股定理、斜边上的中线;(3)你还知道什么?你觉得对于一个直角三角形,还能研究什么?

在Rt△ABC中,∠A一旦确定,坡度就确定了.∠A越大,坡度越陡,∠A越小,坡度越小.同样,在Rt△ABC中,a、b一旦确定,坡度也就确定了.说明∠A与a、b背后必定存在着联系!而这正是刚才我们所猜测的还可以研究直角三角形边与角之间的关系.下面就可以围绕着∠A确定、也确定,∠A变化也随之变化,展开锐角三角函数定义的教学.

生活情境源于学生的生活现实,指向数学的本质探究.所以,任何一个生活情境的解读都必须体现借助生活现实、完成数学抽象、利用逻辑推理这三大过程,这也是基于数学学科核心素养的生活情境的解读之道.从情境走向问题的生活现实告诉学生,数学来源于生活实际,提醒学生要时时处处关注来源于自然社会中的现象与问题,处处留心皆数学.从生活走向数学的抽象,可以引导学生用数学的眼光观察世界.从数学走向本质的逻辑推理是数学知识形成的重要手段,更是培养学生用数学思维思考世界的必经之路.知识形成后的运用与应用等数学建模,有助于学生用数学语言表达世界素养的养成.由此可见,数学学科核心素养的落实应该贯穿于数学课堂教学的方方面面,贯彻于数学课堂教学的过程之中.

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