多项式因式分解方法的再探讨

张姝同 常健

摘 要：初中阶段我们就已经学习过一种重要的恒等变形—因式分解，教材中主要介绍了公式法、提取公因式法、十字相乘法、求根法等一些基本方法。本文主要介绍双十字相乘法；综合除法；待定系数法；数列法等不常见且技巧性较强的因式分解方法，供广大教育者和对因式分解有着浓厚兴趣的中学生参考。

关键词：因式分解；双十字相乘法；综合除法；待定系数法；数列法

一、 引言

在学习因式分解之前我们先学习了整式的乘法，因式分解与整式乘法这二者之间有着明显关联，比如（a+b）（a-b）=a2-b2就是我们平时说的整式乘法，而a2-b2=（a+b）（a-b）就是因式分解，前者是顺向思维，它有具体方法，直接按照法则操作进行，而因式分解相对多项式乘法来说是逆向思维过程，所以难度较大。以下给出四种技巧性较强的方法，每种方法给出具体分解过程，希望对一些特殊多项式的因式分解提供新思路。

二、 双十字相乘法

十字相乘法是中学时代使用较频繁的因式分解方法，这里介绍一种进阶的十字相乘法——双十字相乘法。所谓双十字相乘法，根据字面意思理解即有两个十字相乘法组合而成的方法，具体而言就是对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f（其中x，y为未知数）的多项式，分解步骤是先分解其中的二次项得到前两列，然后再将常数项分解写到第三列，分解后第三列与第二列构成一个十字，使之对角相乘之和为ey，第三列与第一列组成的十字对角相乘之和等于dx。最后分解的结果就是将第一行写成的多项式与第二行写成的多项式相乘即可。下面以二次六项式为例说明双十字相乘法的具体分解过程。

【例1】 因式分解2x2-7xy-22y2-5x+35y-3。

解：第一步先分解2x2-7xy-22y2-5x+35y-3的二次项得到前两列，然后再分解常数项写到第三列，使其满足与第一列十字相乘之和等于-5x，与第二列十字相乘之和等于35y。如图1所示，所以：

图1 双十字相乘法示意图

2x2-7xy-22y2-5x+35y-3=（2x-11y+1）（x+2y-3）

三、 利用综合除法

对于一些次数较高的多项式，形如f（x）=a0xn+a1xn-1+L+an-1x+an通常考虑用综合除法来进行因式分解。先写出最高次项系数和常数项的所有因子，然后写出所有可能的根（常数项因子除以最高次项系数的因子），最后利用综合除法来一一验证。综合除法是一种比带余除法更简洁的多项式除法设f（x）=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an-1x+an并且设f（x）=（x-c）q（x）+r其中q（x）=b0xn-1+b1xn-2+b2xn-3+…bn-2x+bn-1，按照下表的算法可以很快求出商式的系数和余式。

c|a0a1a2…an-1an

+cb0cb1…cbn-2cbn-1

b0b1b2…bn-1|r

下面以四次多项式为例说明利用综合除法分解因式的过程。

【例2】 分解因式f（x）=2x4+11x3+16x2+x-6。

解：观察最高次项2x4的系数为2，因子有：±1，±2；常数项-6的因子有：±1，±2，±3；于是所有可能的根有：±1，±2，±3，±32，±12。其中f（1）=24，f-1=0，即-1是f（x）的根，然后用綜合除法一一试除，以2和-2为例：

2|211161-6

43092186

2154693|180

-2|211161-6

-4-14-46

272-3|0

由以上两个综合除法得知用-2除余式为0，即-2是原多项式的一个根。由综合除法一一验算得用-1，-2，-3，12除多项式系数所得余式为零，即-1，-2，-3，12是上述多项式的根，即：

原式=（x+1）（x+2）（x+3）（2x-1）。

四、 待定系数法

所谓待定系数法简单来说，就是根据预先判断的因式分解的形式，设出相应的因式，然后用比较系数法解出未知数。待定系数法一般用于四次及以下的多项式，对更高次的多项式进行因式分解使用此法，一是不容易判断其因式分解的形式，二是次数越高计算量越大。下面以四次多项式为例说明如何利用待定系数法分解因式。

【例3】 因式分解x4-x3+2x2-2x+4。

解：可以观察到x4-x3+2x2-2x+4是首项系数为1的四次多项式，分解的形式只有两种情况，一种是一个三次因式和一次因式，另一种是两个二次因式。由综合除法对所有可能的一次因式一一试除，所得余式都不为零。可以知道上式不可能分解为一个一次因式和一个三次因式的乘积，因此可设：

原式=（x2+ax+b）（x2+cx+d）

=x4+（a+c）x3+（ac+b+d）x2+（ad+bc）x+bd

由此可得：a+c=-1，ac+b+d=2，ad+bc=-2，bd=4

解得：a=1，b=2，c=-2，d=2。即原式=（x2+x+2）（x2-2x+2）

五、 数列法分解因式

数列法适用于一些特殊的多项式，在因式分解中对于一些可看作等差数列或者是等比数列前n项和的多项式，我们就可利用有关的前n项和公式进行运算。下面以等比数列为例说明数列法因式分解的具体运算过程。

【例4】 分解因式x12+x9+x6+x3+1。

解：x12+x9+x6+x3+1=（x3）4+（x3）3+（x3）2+（x3）+1=（x3）5-1x3-1=（x5-1）x-1×x10+x5+1x2+x+1=（x+1）2（x+4）2

以上介绍了几种技巧性较强的因式分解方法，我们知道多项式的因式分解方法多变，很多题目并不局限于单一的解法，有些甚至可以一题多解，这就需要我们在平时的学习生活中多学多练，不断钻研探索出更加简便而有趣的方法，使未来对多项式有更加深入的了解，对因式分解更加游刃有余。

参考文献：

[1]石函早，郭秀清.初等数学研究[M].上海：同济大学出版社，2015，8.

[2]毕严河.因式分解的方法技巧汇总[J].科技视界，2014（1）：277-279.

作者简介：

张姝同，常健，陕西省延安市，延安大学数学与计算机科学学院。