拨云见月 解法自然来—2018年全国卷III理科第21题的解法探析

广东省佛山市乐从中学(528315) 林国红

当前,函数导数题常作为高考的压轴题.导数压轴题在考查基础知识的同时,注重对能力,数学思想方法方面的考查,有综合性强,思维量大,方法繁多,技巧性强等特点.2018年高考数学全国卷III理科第21题是一道函数的综合性试题,该题的思维难度很大,有着浓厚的高等数学背景.本文站在高等数学的视角对问题进行探析,寻找问题的本质内涵,分析解题思路,并给出几种解法.

一、题目呈现

试题(2018年高考数学全国卷III理科第21题)已知函数f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x.

(1)若a=0,证明：当-1＜x＜0时,f(x)＜0;当x＞0时,f(x)＞0;

(2)若x=0是f(x)的极大值点,求a.

题目分析题目结构简单,知识方面主要考查导数的运算,利用导数工具证明函数不等式,函数的极值点及其相关运算;思想方面主要考查转化与化归,分类讨论等思想.综合考察考生逻辑思维、转化、推理论及运算等方面的能力.试题重点突出,层次分明,对于考生运用所学知识,寻找合理的解题策略,以及转化和运算能力有较高的要求,较好地达到了考查目的,体现能力立意的命题原则,作为压轴题起到了把关作用.

二、解法探析

由于问题(1)较为简单,所以只给出2种证法,重点放在问题(2)的分析与解答.

(1)证法1函数的定义域为(-1,+∞),若a=0,则f(x)=(2+x)ln(1+x)-2x,于是有则当-1＜x＜0时,g′(x)＜0;当x＞0时,g′(x)＞0.故当x＞-1时,g(x)≥g(0)=0,且仅当x=0时,g(x)=0,从而f′(x)≥0,且仅当x=0时,f′(x)=0.所以f(x)在(-1,+∞)单调递增.又f(0)=0,故当-1＜x＜0时,f(x)＜0;当x＞0时,f(x)＞0.

证法2函数的定义域为(-1,+∞),若a=0,则设则所以g(x)在(-1,+∞)单调递增,且有g(0)=0.故当-1＜x＜0时,g(x)＜g(0)=0,且x+2＞0,所以f(x)＜0;当x＞0时,g(x)＞g(0)=0,且x+2＞0,所以f(x)＞0.

评注问题(1)的两种证法均是利用导数作为工具来证明,由于f(x)中含有对数式,证法1通过二次求导来处理掉对数式,证法2通过提因公式(2+x)后,一次求导即可.

(2)解法1(官方答案及析疑)

(i)若a≥0,由(1)知,当x＞0时,f(x)≥(2+x)ln(1+x)-2x＞0=f(0),这与x=0是f(x)的极大值点矛盾.

(ii)若a＜0,设函数h(x)=ln(1+x)-由于当时,2+x+ax2＞0,故h(x)与f(x)符号相同.又h(0)=f(0)=0,故x=0是f(x)的极大值点当且仅当x=0是h(x)的极大值点.如果6a+1＞0,则当0＜且|x|＜min时,h′(x)＞0,故x=0不是h(x)的极大值点.如果6a+1＜0,则a2x2+4ax+6a+1=0存在根x1＜0,故当x∈(x1,0),且时,h′(x)＜0,故x=0不是h(x)的极大值点.如果6a+1=0,则则当x∈(-1,0)时,h′(x)＞0;当x∈(0,1)时,h′(x)＜0.所以x=0是h(x)的极大值点,从而x=0是f(x)的极大值点.综上,

评注①为什么原函数要除以2+x+ax2?这是因为ln(1+x)这种超越函数不要和其它函数结合在一起,否则一次求导不能化到多项式函数,还须二次求导,才能找到极值点,所以应该考虑让ln(1+x)单独存在,这种处理思路实际上是第(1)个的问题的证法2.

②另外这样处理又会出现一个新问题：原函数除以某个函数后,函数的极值点会发生变化吗?

这实际涉及到函数逼近方面的知识,由帕德逼近可知：

引理1若函数y=f(x)与g(x)在x=x0处函数值和导数值都相等,则h(x)=q(x)f(x)-p(x)在x=x0处导数为0.

引理2设函数f(x)在x=x0处取得极大(小)值且f(x0)=0,若g(x)为连续函数且g(x0)＞0,则h(x)=g(x)f(x)同样在x=x0处取得极大(小)值,且h(x0)=0.

解法2(函数极值的第三充分条件)

由f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x,可得f′(x)=(2ax+1)ln(1+x)+且f′(0)=0.又f′′(x)=2aln(1+x)+且f′′(0)= 0,f′′′(x)=且f′′′(0)=6a+1,f(4)(x)=且f(4)(0)=-12a-4,因为x=0是f(x)的极大值点,所以f′′′(0)=6a+1=0,即且f(4)(0)=-12a-4=-2＜0.

评注本解法是利用函数极值的第三充分条件：

若函数f(x)在x0存在n阶导数,且f′(x0)=f′′(x0)=···=f(n-1)(x0)=0,f(n)(x0)≠0.

1)是n奇数,则x0不是函数f(x)的极值点;

2)是n偶数,则x0是函数f(x)的极值点：

当f(n)(x0)＞0时,x0是函数f(x)的极小值点,f(x0)是极小值;

当f(n)(x0)＜0时,x0是函数f(x)的极大值点,f(x0)是极大值.

要注意的是：利用函数极值的第三充分条件,求出必要条件后要验证其充分性.

解法3(分离参数,洛比达法则)

因为x=0是f(x)的极大值点,所以存在充分接近0的正数δ,使得在(-δ,0)∪(0,δ),有f(x)＜f(0)=0,即(2+x+ax2)ln(1+x)-2x＜0.当x∈(0,δ)时,ln(1+x)＞0,故有所以当δ→0时,

当x∈(-δ,0)时,ln(1+x)＜0,故有a＞所以当δ→0时,综上,

评注①准确理解极值点的含义,把复杂问题转化为常见问题：即通过参变分离,把问题转化为恒成立问题,再求参数a的值.从而避开用导数研究函数的单调性,可直接用洛比达法则解决.

②另外,问题(2)也可以用下面的思路来处理：

因为x=0是f(x)的极大值点,且f′(0)=0,所以存在充分接近0的正数δ,使得当x∈(-δ,0)时,f′(x)＞0;当x∈(0,δ)时,f′(x)＜0.因为f′(x)=且对于x∈(-1,+∞),都有2xln(1+x)＞0,从而2xln(1+x)+所以当x∈(-δ,0)时,当x∈(0,δ)时,后面同解法3一样,用洛比达法则进行解答即可,在此不再重复.

三、追本溯源

由第(2)个问题的解法3可知：因为x=0是f(x)的极大值点,所以存在充分接近0的正数δ,使得在(-δ,0)∪(0,δ),有f(x)＜f(0)=0.所以,第(2)个问题可改为：若f(x)≤0,求a的值.

这样,修改后的问题就与2017年全国卷II,III理科21题同根同源.

1.(2017年高考全国卷II理科第21题)已知函数f(x)=ax3-ax-xlnx,且f(x)≤0.

(1)求a的值;

(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点x0,且e-2＜f(x0)＜2-3.

2.(2017年高考全国卷III理科第21题)已知函数f(x)=x-1-alnx.

(1)若f(x)≤0,求a的值;

(2)设m为整数,且对于任意正整数n,求m的最小值.

可以看出今年考题的第(2)个问题的“母题”来源于2017年的考题,只是将条件换了一个“马甲”而已.所以在高考的备考中,适当加入高考真题的训练的必要的,特别是近五年的高考真题.

另外,数学的魅力在于“变化”,有“变”才能“活”,变式、引申、推广是促进理解,研究问题的常用手段,恰当的“变式”能避免学生在低层次重复,能使学生多角度、全方位地理解知识,思维能力得到拓宽和加强.所以数学教学不仅要解决问题,还要注重问题的变式拓展,要重视高考题的引领作用,引导学生积极探索一题多变、一题多用,这样既能巩固基础知识,开拓解题思路,又提高了发现问题、分析问题、解决问题的能力,同时达到了举一反三,触类旁通的目的.

四、解后启示

近年来,高考的命题者通过挖掘高等数学中的一些素材来命制高考试题,此类试题也逐渐引起老师们的关注.但这并不意味着要将过多的高等数学知识下放到中学里来,加重中学的负担,应该是教师能站在高观点的角度看待问题,找到问题的本质内涵,更好地指导中学的数学教学.

教师要重视高考题,并认真研究,充分挖掘和发挥试题的作用及价值,引导学生从不同的思维角度分析同一道题目,得到不同的解题方法,精学一题,妙解一类,进而提炼出数学思想与方法,实现教学功能的最大化、最优化.