利用图象法刍议函数整数解问题的解题策略*

福建省南平市高级中学(353000) 江智如

一、问题提出

在高三函数复习过程中,基于整数条件,求解参数取值范围的题型是教师和考生比较头疼的复习难点.此类问题以不等式知识为依托,结合导数运算和性质,考查函数相关知识,内容涵盖范围广,综合性强,难度大,是近些年高考和各类模拟考试的热点,在试卷中常以选填压轴题的形式出现.一方面,这类问题可以考查考生的综合数学思想能力和数学素养,体现试卷的区分与选拔功能;另一方面,由于问题抽象,计算量大,大部分考生的数学阅读能力水平薄弱,难以正确理解和提取题干的关键要素,无从下手,不得不选择放弃,导致失分率很高,甚为可惜.因此,探究解决函数整数解问题的有效对策,成为函数复习的急迫课题.为此,笔者从教学实际出发,归纳整理,探究解决此类问题的有效策略.

二、概念界定

本文所探究的函数整数解问题是指：“基于已知函数或不等式满足的相关整数条件,求解参数变量取值范围的题型”.它是函数性质的综合应用,对考生的函数基础知识和应用技能要求较高.《普通高中数学课程标准(2017年版)》[1]提出了解决此类问题的思路：“借助函数的图象,引导学生通过具体实例感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用”.《2018年普通高等学校招生全国统一考试大纲的说明(理科)》[2]进一步明确解题的方法：“会运用基本初等函数的图象分析函数的性质”.因此,笔者利用图象法,从直观想象的角度进行探究.

三、方法探析

根据问题的条件及参数的的形式,笔者归纳整理为四种类型,每种类型基于典例与变式,依托导数研究函数图象的知识,通过实例总结利用图象法进行求解的思路与方法,帮助考生有效解决此类问题,提高考生数学思想能力水平,实现渗透数学素养教育的目标.

(一)函数型问题

典例1 (2015年高考课标卷I理科第12题)设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a＜1,若存在唯一的整数x0,使得f(x0)＜0,则a的取值范围是( )

图1

分析问题转化为ex(2x-1)＜a(x-1)有唯一整数解,由表达式可知a的几何意义为斜率,因此考虑从直线与曲线的位置关系求解.令g(x)=ex(2x-1),h(x)=a(x-1),则g(x)＜h(x)有唯一整数解.容易求得g′(x)=ex(2x+1),可知g(x)在上单调递减,在上单调递增,且直线h(x)过点(1,0),由图1知g(1)=e＞h(1)=0,所以有唯一整数解x=0满足条件,从而问题等价于解得故选D.

评析本题利用不等式作差比较法,把参数a转化为直线的斜率,从直线与曲线的位置关系入手求解.考查考生化归与转化思想,函数与方程思想,特殊与一般思想,数形结合始终贯穿解题过程,逐层递进,实现对考生数学抽象素养、直观想象素养、数学运算素养的渗透与培养.

变式1(2017年河北唐山高三摸底卷理科第12题)设函数若存在唯一的正整数x0,使得f(x0)＜0,则a的取值范围是( )

图2

分析问题等价为不等式有唯一整数解.令g(x)==a(x+1),则g(x)＜h(x)有唯一整数解;因为g′(x)=x2-6x+8=(x-2)(x-4),所以g(x)在(-∞,2),(4,+∞)上单调递增,在(2,4)上单调递减,且直线h(x)过定点(-1,0),故由图2可知唯一的正整数x=4满足条件,从而列出等价不等式组故选A.

评析本题的思路与典例1的思路殊途同归,解题的关键在于领会参数a的几何意义,通过图象得到等价不等式组,进而解决问题.函数与方程思想,数形结合思想蕴涵在解题过程中,体现对直观想象素养与数学运算素养的应用.

方法总结“进取点点星铺路,步履稳踏自茫茫”,此类型问题依托函数与方程思想,利用函数图象,从直线与曲线位置关系角度入手,依循的解题策略归纳为：(I)分离参数,明确参数的几何意义;(II)构造函数,画出函数图象;(III)根据图象,确定特殊整数点,列出等价不等式组;(IV)求出参数的取值范围;也就是“一分,二画,三列式”.

(二)不等式型问题

典例2 (2018年福建泉州3月质检理科第12题)不等式xlnx+x2+(a-2)x≤2a有且仅有一个整数解,则实数a的取值范围是( )

A.[1,+∞)

B.(-∞,-4-4ln2]∪[-1,+∞)

C.(-∞,-3-3ln3]∪[-1,+∞)

D.(-4-4ln2,-3-3ln3]∪[-1,+∞)

分析由已知可得xlnx+x2-2x≤-a(x-2),令g(x)=xlnx+x2-2x,h(x)=-a(x-2),则问题转化为在x＞0上,g(x)≤h(x)有唯一整数解;对函数g(x)求导研究,作出图象3;因为直线h(x)过点(2,0),且斜率为-a,由图3可知当时a≥0,有唯一的整数解x=1满足条件;当a＜0时,有唯一的整数解x=1或x=3满足条件,从而有g(1)≤h(1)或解得-1≤a＜0或-4-4ln2＜a≤-3-3ln3,综上,a≥-1或-4-4ln2＜a≤-3-3ln3,故选D.

图3

评析本题的关键是直线h(x)过定点,利用斜率-a的几何意义分类讨论,并借助函数g(x)的图象列出等价不等式组,求出a的取值范围.考查分类与整合思想,数形结合思想;考查逻辑推理能力,运算求解能力;体现逻辑推理素养、直观想象素养、数学运算素养在考查过程中的要求与渗透.

变式2(2018年四川成都三诊理科第12题)在关于x的不等式e2x2-(aex+4e2)x+aex+4e2＞0(其中e=2.71828···为自然对数的底数)的解集中,有且仅有两个大于2整数,则实数a的取值范围是( )

分析由已知得e2(x2-4x+4)＞aex(x-1),即e2-x(x-2)2＞a(x-1);令g(x)=e2-x(x-2)2,h(x)=a(x-1),则g(x)＞h(x)有且仅有两个大于2整数;因为g′(x)=-(x-2)(x-4)e2-x且g(x)≥0,所以确定函数g(x)的图象4;又直线h(x)过点(1,0),且斜率为a,故由图4知a＞0,有且仅有整数解x=3和x=4满足条件,此时得故选B.

图4

评析本题首先分离参数,画出图象,借助直线h(x)过定点(1,0)条件,利用a的几何意义,由图象得到等价不等式组,求出a的取值范围.考查运算求解能力,数形结合思想;实现逻辑推理素养和数学运算素养在解题过程中的形成.

方法总结此类型问题是函数型的推广,是不等式恒成立与存在性问题的衍生[3],可转化为函数型问题进行求解.依循函数型的解题策略,总结为：(I)化简不等式,分离参数;(II)构造函数,画出图象;(III)讨论特殊整数点,列出等价不等式组;(IV)解不等式组,求出参数的取值范围.也就是“一化,二画,三列式”.

(三)导数型问题

典例3(2018年福建南平12月月考理科第12题)已知f′(x)是函数f(x)的导函数,且对任意的实数x都有f′(x)=ex(2x+3)+f(x)(其中e=2.71828···为自然对数的底数),f(0)=1,若不等式f(x)-k＜0的解集中恰有两个整数,则实数k的取值范围是( )

图5

分析由导数运算法则可化为,即求得故f(x)=ex(x2+3x+1);从而问题转化为ex(x2+3x+1)＜k有两个整数解.令g(x)=ex(x2+3x+1),则根据函数的性质作出图5,因为g(-3)=e-3＞0,g(-2)=-e-2＜0,g(-1)=-e-1＜0,当x≤-3时,g(x)＞0,且当x→-∞时,g(x)→0,所以由图可知恰有整数解x=-2和x=-1满足条件,从而有故选C.

评析本题的难点是根据导数的运算求出原函数f(x),然后利用分离系数法,借助函数f(x)的图象,列出等价不等式组,求出范围.考查运算求解能力,逻辑推理能力,化归与转化思想,分类与整合思想,渗透对逻辑推理、直观想象、数学运算素养的培养和提升.

变式3(2018年金太阳10月大联考理科第12题)已知不等式f(x)+f′(x)=x+1,且f(0)=1,f(x)＜ax+1有且仅有一个整数解,则实数a的取值范围是____.

分析由导数运算法则可化为,exf(x)+exf′(x)=ex(x+1),即[exf(x)]′=ex(x+1),求得exf(x)=exx+c,故又f(0)=1,故令g(x)=ax+1,则由图6知x=-1或x=1满足条件,从而有或解得或a＜2-e,故实数a的取值范围是

图6

评析与典例3类似,本题的突破点在于根据导数运算[exf(x)]′=ex[f′(x)+f(x)],求出原函数f(x).因为a的几何意义为直线的斜率,所以从直线与曲线的位置关系角度入手,作出函数图象,考虑特殊点,列出等价不等式组,求出参数a的取值范围.数形结合思想贯穿整个解题过程,逐层递进,考查函数与方程思想,分类与整合思想,体现逻辑推理、数学运算、直观想象等素养在解题过程中的必要性与重要性.

方法总结导数型问题需要运用导数的相关知识,难度比其它类型更大.解题关键在先求出原函数,然后利用图象,根据参数的几何意义,列出等价关系式,方可求解.其中原函数的求解,一般分为“加”型与“减”型,考查导数的运算法则和基本初等函数的导数等知识,具体可参考相关文献,本文不再累述.解题策略归纳为：(I)求出原函数;(II)明确参数的几何意义,构造函数;(III)画出函数图象,找出特殊整数点,列出等价不等式组;(IV)求解参数的取值范围.也就是“一求,二画,三列式”.

(四)综合型问题

典例4 (2019年福建福州1月质检理科第11题)如图7,函数f(x)的图象为两条射线CA,CB组成的折线,如果不等式f(x)≥x2-x-a的解集中有且仅有1个整数,那么实数a的取值范围是( )

A.{a|-2＜a＜-1}B.{a|-2≤a＜-1}

C.{a|-2≤a＜2}D.{a|a≥-2}

分析由图可求则不等式可化为：有唯一整数解.令因为g(1)=-1＜0,g(0)=-2＜0,g(-1)=2＞0,所以由图象8知x=0满足条件,从而解得-2≤a＜-1,故选B.

图7

图8

评析本题依托二次函数图象性质,讨论直线y=a与函数g(x)的相交情况,平移直线y=a,确定满足条件时的直线位置,求出实数a的取值范围.考查数形结合思想、逻辑推理能力以及运算求解能力,提升直观想象素养、逻辑推理素养.

变式4 (2018年湖南长沙雅礼中学11月考理科第12题)已知函数设A={x∈Z|x(f(x)-a)≥0},若A中有且仅有4个元素,则满足条件的整数a的个数为( )

A.31 B.32 C.33 D.34

分析由已知得则集合A转化为当x≥0时,f(x)≥a,当x＜0时,f(x)＜a分别有4个整数解.作出图象9,平移y=a,因为f(1)=3,f(3)=-9,f(4)=-24,f(-3)=4,f(-4)=20,f(-1)=2;所以当-24＜a≤-9时,A={0,1,2,3}符合要求;当a=0时,A={-2,0,1,2}符合要求;当2＜a≤3时,A={-2,-1,0,2}符合要求;当4＜a＜20时,A={-3,-2,-1,0}符合要求;故满足条件的整数a有-23,-22,-21,···,-9,0,2,3,4,···19,共34个,故选D.

评析本题的难点是根据图象分类讨论直线y=a与函数f(x)的相交情况,确定满足条件的整数a的个数.考查数形结合思想,化归与转化思想,渗透直观想象素养和逻辑推理素养的考查.

图9

方法总结此类型问题利用化归与转化的思想,从图象的角度进行求解,是整数解问题的综合题型,难度大,对考生的要求高,解题策略总结为：(I)明确参数的几何意义,画出函数图象;(II)分类讨论,确定特殊整数点;(III)列出等价不等式组,求解参数的取值范围.也就是“一画,二分,三列式”.

四、巩固提升

“博观而约取,厚积而薄发”,在四种类型解题策略的基础上,读者不妨通过如下两个例子小试身手,进一步加深对本文探究策略的理解和领会.

例1(2017年福建南平3月月考理科第12题)若关于x的不等式xex-2ax+a＜0,(其中e=2.71828···为自然对数的底数)的非空解集中无整数解,则实数a的取值范围是( )

提示：化简、分离参数得：xex＜a(2x-1),可求a的取值范围是故选B.

例2(2018年四川成都三诊文科第12题)在关于x的不等式x2-axex-aex＞0,(其中e=2.71828···为自然对数的底数)的解集中,有且仅有两个正整数,则实数a的取值范围是( )

提示：化简、分离参数得：x2e-x＞a(x+1),可求a的取值范围是故选D.

五、教学建议

整数解问题是函数图象的具体应用,不论哪一种类型,解题策略均可归纳为“一分,二画,三列式”.解题的思路与方法围绕着函数的图象展开,这要求考生具有扎实的函数图象知识和技能.在日常的教学过程中,教师应按照《课标》与《考纲》的要求设计合理的“精致练习”[4],训练学生导数应用求解的能力,促进学生逻辑推理素养、数学运算素养的提升,指导学生理解与掌握导数的概念与性质,掌握基本初等函数的图象,引导学生理解导数研究函数图象与性质的方法和技能,从而能够借助函数的图象解决整数解问题,以实现核心素养教育在日常教学中渗透的目标,让学生在“润物细无声”中学会用数形结合思想解决实际问题.