指数式及对数式比较大小试题的三种常见题型*

福建省龙海第一中学新校区(363100) 苏艺伟 陈艺平

比较大小试题经常出现在高三年的综合卷以及高考试题当中.此类试题不仅能够综合考查指数、对数、幂函数的运算性质、图像、单调性等,还能够与导数、不等式相结合.试题虽然简短却内涵丰富,集指数、对数、幂函数、不等式等众多的知识点于一体,体现了在知识交汇处命题的原则,较好地考查学生的数学核心素养.

类型一 直接借助函数的性质比较大小

此类题型主要考查考查指数、对数、幂函数的运算性质,要求考生能够借助指数函数(或者幂函数)、对数函数的单调性、图像分析问题,并且综合运用不等式的相关知识进行求解,对考生的计算求解能力,推理论证能力提出了较高的要求.

例1(2016年全国I卷选择第8题)若a＞b＞1,0＜c＜1,则( )

A.ac＜bcB.abc＜bacC.alogbc＜blogacD.logac＜logbc

图1

图2

图3

解析(1)比较ac和bc.

对于ac和bc,观察到它们底数不同,指数相同,因而可以采用两种方法来进行比较.

方法1构造幂函数.

令y=xc,由c＞0可知该函数在(0,+∞)单调递增.因为a＞b,故ac＞bc.

方法2_构造两个指数函数.

令y=ax和y=bx,因为a＞b＞1,故如图1所示,由0＜c＜1得ac＞bc.

综合上述分析可知,ac＞bc,故A答案错误.

(2)比较logac和logbc.

观察到这两个对数式底数不同,真数相同,因此构造两个对数函数进行比较.令y=logax和y=logbx,因为a＞b＞1,故如图2所示,由0＜c＜1得logbc＜logac＜0.因此,logbc＜logac＜0,故D答案错误.

(3)比较abc和bac.

abc-bac=ab(bc-1-ac-1),由a＞b＞1,c-1＜0,结合图1可知0＜ac-1＜bc-1＜1.故bc-1-ac-1＞0,则abc-bac=ab(bc-1-ac-1)＞0.因此abc＞bac.故B答案错误.

(4)比较alogbc和blogac.

由于alogbc=logbca,blogac=logacb,从而可以转化为比较logbca与logacb的大小.由于a＞b＞1,c-1＜0,故0＜ca＜cb＜1.结合图3可知,logbca＜logacb,即alogbc＜blogac.故C答案正确.

例2 (2017年全国I卷选择第11题)设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则( )

A.2x＜3y＜5zB.5z＜2x＜3y

C.3y＜5z＜2xD.3y＜2x＜5z

(思路1作差法.)

令2x=3y=5z=k,由于x,y,z为正数,所以k＞1.则有x=log2k,y=log3k,z=log5k,因此2x=2log2由于故2x＞3y.由于故2x＜5z.综上,有3y＜2x＜5z.

思路2作商法.

令2x=3y=5z=k,由于x,y,z为正数,所以k＞1.则有x=log2k,y=log3k,z=log5k,因此2x=2log2k=由于故2x＞3y.由于故2x＜5z.综上,有3y＜2x＜5z.

例3(2018年全国II卷选择第12题)设a=log0.20.3,b=log20.3,则( )

A.a+b＜ab＜0 B.ab＜a+b＜0

C.a+b＜0＜abD.ab＜0＜a+b

解析根据对数的性质可知a＞0,b＜0,故ab＜0.由于log0.30.4＞0,log0.30.2＞0,log0.32＜0,因此即即a+b＞0.因此选D.

例4 (2018年天津卷选择第5题)已知a=log2e,b=ln2,则( )

A.a＞b＞cB.b＞a＞cC.c＞b＞aD.c＞a＞b

解析根据对数的性质可知a∈(1,2),又c=log23＞log2e,即c＞a,因此有c＞a＞b.

类型二 指数式、对数式以自变量的形式出现

在此类试题中,指数式、对数式是以自变量的形式出现.题目会给出一个函数(可能是具体函数也可能是抽象函数),需要先考察该函数的单调性,然后比较自变量的大小,进而结合单调性求解.

例5(2017年天津卷选择第6题)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系是( )

A.a＜b＜cB.c＜b＜aC.b＜a＜cD.b＜c＜a

解析由于奇函数f(x)在R上是增函数,所以当x＞0时,f(x)＞0.显然g(x)=xf(x)为偶函数,a=g(-log25.1)=g(log25.1).由于g′(x)=f(x)+xf′(x),故当x＞0时,g′(x)＞0,g(x)在(0,+∞)上是增函数.因为20.8＜2,log24＜log25.1＜log28,结合g(x)在(0,+∞)上的单调性可知b＜a＜c.

例6已知函数f(x)=ex-a+e-x+a,若3a=log3b=c,则( )

A.f(a)＜f(b)＜f(c) B.f(b)＜f(c)＜f(a)

C.f(a)＜f(c)＜f(b) D.f(c)＜f(b)＜f(a)

解析由于f(2a-x)=e-x+a+ex-a,因此f(2a-x)=f(x),所以f(x)的图像关于直线x=a对称且f(x)在(a,+∞)上单调递增.由图4可知,a＜c＜b.因此f(a)＜f(c)＜f(b).

图4

例7设函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x),且f(x)是[1,+∞)上的增函数,则的大小关系是( )

A.a＞b＞cB.b＞a＞cC.a＞c＞bD.c＞b＞a

解析由已知有函数f(x)的对称轴为x=1,f(x)在[1,+∞)上单调递增,在(-∞,1)上单调递减.由于结合f(x)的单调性可知a＞b＞c.

例8已知偶函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,则( )

A.f(2e)＞f(-3e) B.f(e2)＞f(-e3)

C.f(log0.50.5) D.

解析易知答案A,B错误.由于即即故结合f(x)在(0,+∞)上单调递增,有答案D正确.由于-1,故结合f(x)在(-∞,0)上单调递减,有答案C错误.

类型三 自行构造函数

此类试题,题目不会直接告知相关的函数,需要根据题目给出的指数式,对数式的结构特征灵活构造出恰当的函数,进而考查该函数的单调性,结合单调性求解.

例9下列命题为真命题的是____.

解析构造函数令f′(x)=0得x=e2.易知f(x)在(0,e2)单调递增,在(e2,+∞)上单调递减,且最大值为如图5所示.

(1)由f(3)＜f(4)得即所以(1)正确.

(2)由f(e)＜f(π)得即所以(2)错误.

(3)由f(15)＞f(16)得即所以(3)正确.

图5

图6

例10 找出e3,3e,eπ,πe,3π,π3中的最小者和最大者.

解析根据指数函数的单调性有e3＜eπ,3e＜3π,πe＜π3.构造函数令f′(x)=0得x=e.易知f(x)在(0,e)单调递增,在(e,+∞)上单调递减.如图6所示.由f(e)＞f(3)＞f(π)得得e3＞3e;由得3π＞π3;因此有3e＜e3＜eπ,πe＜π3＜3π.故最小值应该在3e与πe中产生,最大值应该在eπ与3π中产生.根据幂函数的单调性有πe＜3e,eπ＜3π.故最小值为πe,最大值为3π.

例11(同例2)设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则( )

A.2x＜3y＜5zB.5z＜2x＜3y

C.3y＜5z＜2xD.3y＜2x＜5z

解析令2x=3y=5z=k,由于x,y,z为正数,所以k＞1.则有x=log2k,y=log3k,z=log5k,因此构造函数

图7

f′(x)=令f′(x)=0得x=e.显然f(x)在(0,1)和(1,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增.如图7所示.由于3＜4＜5,所以f(3)＜f(4)＜f(5),即又lnk＞0,因此有3y＜2x＜5z.

例12 已知定义在R上的函数y=f(x)满足：函数y=f(x-1)的图像关于直线x=1对称,且当x∈(-∞,0)时,f(x)+xf′(x)＜0成立.若则( )

A.a＞b＞cB.b＞a＞cC.c＞a＞bD.a＞c＞b

解析由已知有y=f(x)为偶函数.令g(x)=xf(x),则为g(x)奇函数且在R上单调递减.显然b=g(ln2),c=g(-2)=-g(2).由于故-c＜b＜a＜0,因此有c＞a＞b.

不难看出,与指数式,对数式相关的比较大小试题,集指数函数,对数函数,幂函数,导数,不等式等众多知识点于一体,综合性强,能够较好地检测考生是否掌握了基本知识,基本方法,基本技能,能够体现出对数学核心素养的考查,因而受到命题者的青睐.在实际解题中,要灵活根据题目条件选择恰当的方法,以期达到解题效果的最优化.

练习题

1.(2016年全国III卷选择第6题)

A.b＜a＜cB.a＜b＜cC.b＜c＜aD.c＜a＜b

2.(2014年全国辽宁卷选择第3题)

A.a＞b＞cB.a＞c＞bC.c＞a＞bD.c＞b＞a

3.(2013年全国II卷选择第8题)

设a=log36,b=log510,c=log714,则( )

A.c＞b＞aB.b＞c＞aC.a＞c＞bD.a＞b＞c

5.设a=3,b=3log3π,c=πlog3π,比较a,b,c的大小.