教学生具有生长力的数学

孙凯

【关键词】设计意图;教学思考;生长能力

【中图分类号】G633.6  【文献标志码】A  【文章编号】1005-6009（2019）19-0040-04

一、问题的提出

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“2011年版课标”）指出：数学知识的教学，要注重知识的“生长点”与“延伸点”，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，引导学生感受数学的整体性。因此，在平时的知识教学中，找准知识的生长点，选好生长路径，教给学生具有生长力的数学尤为重要。“圆周角”是初中数学教学中的一个重要内容，尤其是圆周角的概念及定理经常被选作各级各类教学比赛的课题，受到广大一线教师的普遍关注。

苏科版数学九年级上册第二章第四节“圆周角”共安排了3课时的教学内容，分别为“圆周角概念及定理”“圆周角定理的推论”“圆的内接四边形”，其中“圆的内接四边形”作为“圆周角”的第3课时，主要探究的是内角间的数量关系。截至2018年12月在中国知网以“圆周角”为主题，检索到相关论文1581篇，在与圆的内接四边形有关的65篇论文中，只有4篇是談论圆的内接四边形的教学，可见教师研究的关注点一般聚集在圆周角的概念和圆周角定理的教学上，圆的内接四边形的教学没有得到应有的关注。于是，笔者在执教这节课时做了以下思考：圆的内接四边形作为简单的教学内容，如何挖掘其内涵与外延，让其最大化地发挥教学价值;如何使学生的知识生成自然流畅，明晰前后知识间的内在联系;如何在学会数学知识的过程中，发展学生的数学能力。

二、教材简析与聚焦的问题

本节课之前，学生已经学习了圆周角定理及其推论，具备了探索圆的内接四边形的知识和能力基础。教材上呈现的教学内容分为四个板块，一是圆的内接四边形的定义，二是思考并探索对角的数量关系，三是例题教学，四是练习巩固。显然，教材是类比圆的内接三角形的编排流程，先给出圆的内接四边形的定义，然后引导学生探索其对角间的数量关系，形成圆内接四边形的性质定理，最后应用定理解决问题。在此过程中让学生经历由特殊到一般的思考与探索，体会由特殊到一般，再由一般到特殊的数学思想。结合以上分析，笔者在构思教学设计过程中，主要聚焦于以下三个问题：为什么要学习圆的内接四边形？（知识生成的问题）怎样学习圆的内接四边形？（学习方法的问题）学生通过学习会有哪些收获？（教学价值的问题）

三、教学立意

2011年版课标指出：“数学知识的教学，应注重学生对所学知识的理解，体会数学知识之间的关联。”因此，在教学引入环节，注重知识的前后联系，引导学生经历知识的生成过程，体悟圆的内接四边形的来龙去脉。在探索活动环节，以开放性的学习任务，驱动学生主动参与探索活动，培养探究能力，帮助学生自主内化知识结构。在启发指导环节，以高价值的问题引领学生自主参与高阶思维活动，注重学习方法的指导与思想的浸润，帮助学生形成完整的认知结构，提升数学思维能力。最终实现明晰知识生长脉络，内化知识结构，发展数学关键能力的教学效果。

四、教学过程

1.由点到线，串珠成链，生长知识。

基础知识的教学是课程标准总目标的具体体现，是课堂教学的基本要求。教材是教师实施教学的“蓝本”，理解教材是课堂教学的立足点。研究教材文本不难发现，本节课在知识层面要求学生了解圆的内接四边形的定义，探索并掌握圆的内接四边形的性质定理。采用开门见山、直奔主题的教学设计，就知识目标而言，是容易达成的。但遗憾的是学生并不明白圆的内接四边形的来龙去脉，也不明白为什么要学习它或者它有什么研究价值？生长源于内在渴望与外部环境的作用，学生的数学学习体系也要让其在一定环境中自内而外地生长。[1]数学教育家弗莱登塔尔反复强调：学习数学唯一正确的方法是实行“再创造”，也就是中学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来。[2]

问题1：点与圆的位置关系有哪几种？哪一种关系比较特殊？如图1，点A在圆上，你想到什么？

设计意图：复习回忆点与圆的位置关系，引导学生思考两方面内容，一是我们近期学习圆的有关内容都是在点与圆的位置关系的大背景下完成的，二是研究点在圆上的相关知识是因为其相对特殊的位置关系，进一步感悟数学研究对象的特殊化与具体化。

问题2：根据前面圆的学习经历，结合图2、图3分别说说圆上有两个点、三个点时，你想到哪些相关的数学知识？并用数学语言予以描述。圆上有4个点呢？你能想到什么？

设计意图：在问题的引导下，学生结合图形自主回忆旧知，自觉整理知识的内在联系，优化知识结构，明晰本节课之前所学内容的内在主线，从宏观上把握所学内容，体会圆的内接四边形作为学习对象的必然性与必要性。从2个点到3个点再到4个点甚至延伸至5个点，自然生长出本节课探究的主题。在整个问题互动过程中，学生不仅明晰了知识间的内在联系，更为未来学习指明了方向。

问题3：圆的内接四边形作为探索对象，我们探索什么？

设计意图：问题的提出意在引发学生思考并确定探索方向与策略。教学中应引导学生首先回忆探索“四边形”的经历，思考有没有可借鉴的经验或方法，“内接四边形”又该如何探索？驱动学生积极参与思考，更为学有余力的学生指明进一步探索的方向，比如相交弦定理、托勒密定理等。

圆的内接四边形源于圆上任意4点，“由点到弦”是本节课知识教学的“生长路径”，因此，圆上的点是本节课学生学习的起点。从圆上的任意点的视角，让学生经历由点到弦的“创造”与生长过程，经历一点到多点和一弦到多弦的生成过程，体悟圆的平行弦、相交弦、垂直弦和内接四边形等知识的来龙去脉，也为后续圆的内接多边形、内接正多边形等知识指明生长路径。以“圆上的点”作为教学的“生长源”，形成知识的“生长链”，能帮助学生建立数学知识间的横向和纵向联系，进一步深化对新知识的理解。

2.猜想探索，推理归纳，生长脉络。

学生数学知识的习得包含两个基本过程：其一是知识的产生、发展与形成的过程，其二是学生对知识的认知过程。生长数学提倡学为中心的课堂设计理念，教学设计要求尊重学生的认知水平，紧贴最近发展区，遵循知识的生长规律。学为中心的课堂教学是指基于学情分析，聚焦学生的学习起点，关注达成教学目标的教学方式、教学方法和教学路径，围绕学生实施教学组织的教学形式。因此，在探索性质定理的活动中，应准确把握学生的学习起点，启发学生利用好特殊的圆周角（特殊的弦），使知识的生成、生长符合学生的认知规律。

问题4：如图4，圆的内接四边形的对角存在什么关系？你是如何说明的？

设计意图：教师明确本节课探索主题为“角”，逐步明晰探索对象为“对角”，即圆周角，随之引导学生从圆周角特殊化的视角逐步确立由特殊到一般的探索路径。根据课堂的生成情况，适时引导学生从弦特殊化的视角完成探索与说明，体会化归的数学思想方法，经历合情推理与演绎推理等活动过程，发展学生的数学探究能力。

问题5：如图4，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C和∠D还有怎样的数量关系？

设计意图：引导学生感悟在四边形内角和为360°的背景下，引入圆的内接四边形对角互补的性质定理，此时四边形的四个内角关系形成新的特征，比如比例关系等，以实现新知识再生长的目的。

为帮助学生理清知识的生长脉络，经历知识的“再创造”过程，整体把握圆各章节知识的内在联系，落实生长的教学理念，笔者以“圆上的点”作为教学的主线，抓住知识的“生长点”与“生长路径”，设计问题引导学生以“生成、生长”的视角整体把握知识，内化知识结构，明晰知识的生长脉络，形成系统化的知识体系（如图5）。这样的教学设计，有利于学生在生长知识的过程中，既解决为什么学、学什么的低阶问题，又体悟怎么学的高阶问题。

3.学以致用，浸润思想，生长能力。

数学能力是数学核心素养的重要组成部分。北京师范大学曹一鸣教授指出：数学核心素养在一定程度上表现为某些数学学科能力。数学教学中，注重“探索发现”和“演绎证明”的有机结合，有利于实现“增強学生发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”的课程总目标。[3]

问题6：如图6，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，∠C=110°。若点E在AD上，求∠AED的度数。

追问1：∠DEF=______，你有什么猜想或发现？

追问2：∠BOD=______，你又有什么发现？

试用数学语言描述你的发现。

设计意图：在圆的内接四边形中设计求角的问题，有利于驱动学生自觉使用圆内接四边形的性质定理，学以致用，感受性质定理的优越性。图形中的内接四边形既有显性的，也有隐性的，需要学生自主建模，以此体会化归的数学思想方法。通过追问，引领学生自主探索获得新发现，体验数学之美，使数学思想的浸润达到润物无声的效果。

若把知识的教学看作一堂课的起点，那么能力的发展就是一堂课的终点，更是一堂课的应然追求。在教学中，给学生提供充分的探索空间与时间，使其经历独立思考、探索发现、合情推理、演绎证明等高阶思维活动，在掌握基础知识、基本技能的同时，积累数学活动经验，学习数学思想方法，发展学生的数学能力。

例如在问题6的教学中，渗透化归、特殊到一般等思想方法，使知识与思想方法的教学相融合，发展学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力。又如在问题3的教学中，在确立探索“角”的主题方向时，为了充分挖掘“生长源”的潜在教学价值，可适度引导学生提出一些有关“边”“对角线”的数学问题或数学猜想，供学有余力的学生课后探索之用，增强学生的探究意识和探究能力，培养学生的创新意识和创新能力。

总之，一节有正确价值取向的数学课，必须以课标为依据，以对教材的理解为基础，以学生的认知规律为指导，在师生积极参与的探索活动中理性思考，不断发展学生的数学能力。

【参考文献】

[1]卜以楼.“生长数学”：数学课堂教学的愿景[J].江苏教育：中学教学，2017（2）：33-35.

[2]曹一鸣，等.基于学生核心素养的数学学科能力研究[M].北京：北京师范大学出版社，2017：9，14.

[3]教育部基础教育课程教材专家委员会.义务教育数学课程标准（2011年版）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012：203.