在数学解题教学中培养学生的审美能力

宫明

[摘  要] 在數学解题教学中，教师有意识地培养学生的审美能力，不仅能极大地激发学生学习数学的兴趣，提高课堂效率，还有助于提高学生的解题能力，发挥数学美在中学数学解题教学中的导向功能.

[关键词] 中学数学;解题教学;数学美;教学实例

数学是思维的体操，是创造性的艺术. 数学的美学因素不仅体现于外在表现，还蕴含于其内在的原理之中. 在数学解题教学中渗透审美教育，不仅能激发学生的学习兴趣，还能培养学生的创造能力.

品味解题过程中的数学美

法国雕塑家罗丹说过：“美是到处都有的，对于我们的眼睛，不是缺少美，而是缺少发现. ”从数学研究的意义上来说，数学正是各种几何图形、各种不同数据的完美结合，它们相映成趣，构造出了美好的数学世界. 在数学解题教学中，我们可以通过随处可见的例子，把美的享受传递给学生，使他们在欣赏美的同时，感受到数学研究的无限魅力.

案例1图1所示的图形是由若干个点组成的. 假如三角形每条边（包括两个端点）有n（n>1）个点，则每个图形总的点数s是多少？当n=5，7，11时，s分别是多少？

这道题从图形上给人以美的感觉，能激发学生的探究兴趣. 在教学过程中，教师可以引导学生仔细观察图形的结构特点，通过直觉感受总点数s与n的变化关系，于是心算出当n=5，7，11时，s的值.

案例2用运算符号“+”“-”“×”“÷”以及括号，把四个4连成一个算式，使这个算式的结果分别等于从1到9这九个数.

这道题主要考查学生的想象力和观察能力. 通过认真观察，加上正确的想象，学生就会写出如下算式：

4-4+4÷4=1      4×4÷（4+4）=2

（4+4+4）÷4=3     （4-4）×4+4=4

（4×4+4）÷4=5   （4+4）÷4+4=6

4+4-4÷4=7     （4+4）÷4×4=8

4+4+4÷4=9

这九个等式的左边四个4与运算符号的有机结合，婀娜多姿，给人以翩翩起舞的遐想;右边从1到9排列，整齐有序，足以达到美观的视觉效果，能使学生进一步欣赏到数学规律的内在美. 在教学中，以上每一个结果不止一种算法，能让学生在感受美的同时开拓思维.

案例3如图2，已知正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，求所围成的图形（阴影部分）的面积.

[图2]

这道题首先留给学生印象深刻的就是这个图形，它能使学生联想到正方形的玻璃框中镶嵌着4片美丽的花瓣，这样美的外形，显然可以激发学生的求知欲望. 本题的目标是求一个不规则图形的面积，从表象上看，学生会感到困难，似乎无公式可套，无规律可循，但学生会在这个图形美的吸引下，通过仔细观察其中存在的规则，得出结论：S=2π·

2-a2=πa2-a2.

利用数学美思考解题思路

法国数学家庞加莱认为：“数学的优美感，不过是问题的解答适合我们心灵需要而产生的一种满足感. ”因此，数学美不只是用来感受和认识内容的，它还具有指引我们进行数学发现和创造的意义，能够促使我们的解题水平不断提高[1].

1. 内容的统一美

数学的统一美，美在数学对客观世界和谐、井然有序的真实反映上. 比如，梯形的面积计算公式S=（a+b）h就是典型的一例. 它把三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形的面积计算统一在了一个式子之中. 当a，b，h发生变化时，就可以计算不同形状的图形的面积.

案例4猜想：（x-1）（xn-1+xn-2+…+x2+x+1）=______.

请你利用上面的猜想，完成下面的题目：（-2）50+（-2）49+（-2）48+…+（-2）+1.

对于本题，学生很难求出（x-1）（xn-1+xn-2+…+x2+x+1），于是教师可以引导学生先从简单的情形入手，即分别算出（x-1）（x+1）=x2-1，（x-1）（x2+x+1）=x3-1，（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1，…，从而发现内在规律.

在教学中，教师应经常采用类似的解题训练，帮助学生掌握知识的本质特征，加强横向联系，从而揭示统一性，引导学生对统一性与整体的各部分知识进行辨别、分析，找出异同点，并侧重于异中取同.

2. 方法的简洁美

简洁美是数学美的重要标志，用最简单的方法解决复杂的问题，是人们共同的期盼和追求. 在教学中，如果用简单的观点、简化的方法对问题进行整体处理，或者实施分解、变换、降次等转化策略，往往会使处理问题的方法新颖、独特[2].

案例5已知3x2-2x-7=0，求.

学生开始都以常规的思路去审视本题，先求出x，再求，结果误入歧途，使问题变得更加复杂. 教学中，只要教师引导学生观察题目，进行简单的变形，本题就会是另一番景象，即通过移项可得3x2=2x+7，问题就会迎刃而解.

案例6计算：-0.8+2.1-0.75-2.1+35+0.8-4+.

最初，学生按照常规运算顺序逐个进行有理数的加减运算，发现运算过程很烦琐. 当教师提醒学生优先结合相反数时，学生顿时豁然开朗，脸上流露出欣喜的微笑. 这一刻，学生领悟到了问题的实质，感受到了简洁的乐趣，从真正意义上理解了方法的简便.

法国哲学家狄德罗说过：“数学中所谓美的问题，是指一个难以解决的问题，所谓美的解答，是指一个困难复杂问题的简易解答.”由此可见，在解题教学中寻找解题的简易途径和多种方法，就是对数学美的追求.

3. 形式的對称美

形式的对称性是数学科学美的直观体现. 在几何中，图形的对称美是几何学的重要内涵. 在教学中，如果我们引导学生用对称的眼光去审视，采用对称的方法调整、变换元素关系，有些问题就会迎刃而解.

案例7已知，如图3，在△ABC中，AB=3AC，∠BAC的平分线交BC于点D，过点B作BE⊥AD交AD的延长线于点E，求证：AD=DE.

由于试题给了角平分线和垂直的条件，所以教师在教学中如果从对称角度循循善诱，学生很快就会联想到完整的等腰三角形，即把图3补充成图4，并过点E作EG∥BC交AF于点G，即可得出结论.

这样明快的解题思路和完美的对称图形，本身就会给予学生美的启迪，能使学生在感受图形美的同时，感受到运用对称方法解题的乐趣. 这样不仅能培养学生的形象思维能力，而且能促进学生想象力的发展.

4. 思维的奇异美

英国哲学家培根说：“没有一个极美的东西不是在匀称中有着某种奇异. 美就在于奇特而令人惊异. ”数学中的奇异美是指结论的新颖奇巧，出乎意料，往往能引起思想上的震动， 这是吸引许多人喜欢数学的原因之一.

案例8已知方程x2-2x-1=0，不解方程，求一个一元二次方程，使它的根是原方程各根的平方.

解答本题，利用根与系数的关系，顺理成章，但有一位同学却给出了这样的解答：令y=x2是所求方程的根，则得x=±，代入原方程得（±）2-2（±）-1=0，即y2-6y+1=0为满足题意的方程.

在我看来，这就是奇异. 在教学中，教师应充分鼓励学生用新颖、奇特的方法，巧妙地分析和解决问题，帮助学生自由地思考，自主地调控思维过程，从而揭示隐藏在奇异背后的数学美.

结束语

数学是美的，人的爱美天性在青少年时期表现得尤为突出[3]. 数学教师应抓住这个最佳时期，不失时机地揭示数学之美，进行审美教育，并能学用结合，充分发挥数学美在解题中的导向功能.

古希腊数学家普罗克洛斯说过：“哪里有数，哪里就有美. ”在解题过程中，我们应关注数学美，追求数学美，并按照美的标准和方式思考. 只要我们善于发现数学的内在美，那数学学习就不是一件难事. 每个学生在提高自己数学审美能力的同时，也一定会有更大的收获. 所以，我们不要做听课机器，而要善于动脑，善于发现，在探究数学之美的道路上收获意想不到的解题思路，总结有效的解题方法.

参考文献：

[1]徐利治，王光明. 数学方法论选读[M]. 北京：北京师范大学出版社，2010.

[2]张国棣. 谈中学数学的审美教育[J]. 数学通报，2010，49（7）.

[3]文卫星. 引导学生欣赏与发现数学美——以极限教学为例[J]. 数学教育学报，2012（2）.