拓展式数学课堂教学实录及反思

孟庆玲 傅海伦 刘冬

[摘  要] 文章依据拓展式数学课堂教学的模块特征和基本操作程序，展示北师大版八年级数学下册第五章第1节“认识分式（一）”的教学实录及评析. 这节课是初中拓展式数学课堂教学的一节成功的课例，着重体现了数学知识拓展、数学思维拓展和数学文化拓展这三个模块拓展的课堂教学特征.

[关键词] 初中;分式;拓展式数学课堂;实录;评析

拓展式数学课堂教学旨在丰富学生的数学视野，加强学生对数学教学内容的深入理解，在深度和广度上拓展学生的思维，培养学生的数学探究意识和兴趣，建立科学的思维方法和探究方法，在提出和发现数学问题、分析与解决数学问题的能力上得到提高，促进学生均衡而有个性的发展，提高学生的数学素养.

拓展式数学课堂教学的模块特征及基本操作程序

1. 拓展式数学课堂教学的模块特征

拓展式数学课堂教学主要体现三个方面的模块特征[1]：

（1）数学知识模块的拓展. 数学知识的拓展，要求教师既尊重教材又不拘泥于教材内容，在教材现有知识呈现的基础上，适度调整、整合和拓展，从现实生活和学生的实际需要出发，使学习内容在更为现实和广阔的背景下获得充实、深化和提高，最大限度地满足学生学习的需要，体现“用教材教，而不是教教材”的理念.

（2）数学思维模块的拓展. 数学思维模块的拓展致力于拓展学生的数学思维能力，这是拓展式数学课堂教学的核心. 数学思维拓展要求以问题为主线，既注重思维方法的训练，注重合理推理和演绎推理的联系和适当的问题变式应用，又注重学生差异，分层分类进行不同程度的拓展. 在课堂教学中，教师要充分尊重学生的不同思维方式，给学生创造展示自我的机会，从而使开发并拓展数学思维成为可能.

（3）数学文化模块的拓展. 数学文化模块的拓展建立在充分挖掘和展示数学文化的价值和魅力的基础之上，通过在教学中适当、适时穿插数学史和当今生产生活中数学应用的内容，体现文化价值和应用价值. 还可以通过深入挖掘数学美，提高学生感受美、体验美、欣赏美的情趣，从而激发学生学习数学的动机和兴趣，进一步提升数学课堂教学的品位.

2. 拓展式数学课堂教学的基本操作程序

（1）拓展式备课——形成拓展式导学案. 在传统的备教材、备学情和备教法的基础上，更注重搜集、借鉴和整合各种课程和教材资源，形成丰富的、现实的和适于学生学习的学习资料、素材和文本，这其中包括最重要的导学案的备课与教学设计，最后形成拓展式导学案.

（2）拓展式教学——形成拓展式课堂. 开展拓展式课堂教学活动，一般采取：情境创设，问题驱动——探求发现，形成新知——问题变式，思维提升——知识归纳，拓展应用——文化渗透，课外延伸的总体教学程序[1]. 具体在数学课堂上，应注重体现以上三个拓展模块的教学活动，主要考虑设计了以下三个栏目：①知识拓展：加油站;②思维拓展：步步高（或挑战自我，或“凌绝顶”）. ③文化拓展：广角镜. （根据课题需要具体可冠之“史海漫游”或“穿越历史星空”，或“文化走廊”，或“数学美拾趣”，或“生活中的数学”，或“好玩的数学”等）. 以上三个模块是拓展式课堂教学活动标志性的特色栏目[2].

“5.1 认识分式（一）”的拓展式数学课堂实录

1. 课堂背景

这节课出自北师大版八年级下册第五章“分式与分式方程”第1节第1课时，是由山东省教育科学院在泰安第二中学举办的“正确把握教学重点，发展学生数学素养”教學观摩研讨会上的公开课，执教老师：孟庆玲.

2. 课堂实录

师：“泉城”济南正在创建全国文明城市，“创城”以来，城市发生了很大的变化，市民的文明意识和城市环境都有了很大的提升. 请看我们学校小记者团带来的报道.

（此时教师播放视频，视频内容如下）

记者：济南市正在创建全国文明城市，下面让我们听听大家对此事的看法.

受访者1：现在路边没有乱停车的现象，道路变得更加通畅. 我家离学校5千米，现在上学路上就能节省15分钟.

受访者2：自从“创城”以来，我们拆违拆临、建绿透绿，路宽了，地面干净了，环境更美了，仅绿地面积就增加了4000多平方米，居民的生活品质得到了大大提升.

师：这位阿姨（受访者2）住在师东小区，“创城”后她们居住的小区增加了4000多平方米的绿地面积. 如果小区内共有m名居民，则居民人均增加透绿面积多少平方米？大家能解决这个问题吗？

生（齐）：.

师：生活中处处有数学.

（回放受访者1的视频）

师：假设他从家到学校原来需要40分钟，那么现在上学需要多少时间？

生1：25分钟.

师：大家知道字母可以代表任意数. 如果他家离学校s千米，原来上学需要a分钟，现在他每天路上少用15分钟，那么原来的平均速度是多少？现在的速度又是多少？

生2：，.

师：9月12日刚刚结束的泰山国际登山节，吸引了来自世界各地的登山爱好者. 某一时段的统计结果显示，前a天日均游览人数30万人，后b天日均游览人数40万人，前a天共有多少名游客？

生3：30a.

师：这（a+b）天总共有多少名游客？总的日均参观人数为多少？

生4：30a+40b， .

师：这些我们由实际问题抽象出来的代数式，哪些是你熟悉的——，25，，，30a，30a+40b，？

生5：25，30a ， 30a+40b.

师：它们是我们以前学过的整式. 单项式和多项式统称为整式. 那其余的代数式是整式吗？

生5：不是.

师：那么它们是什么呢？我们本章就重点研究这一类代数式. 今天，我们一起来学习“认识分式”.

（教师板书课题“5.1 认识分式”）

师：请大家观察一下，，，，它们有什么共同特征？

（学生思考）

生6：分母中含有字母，都有分数线，形如分数.

师：还有其他特征吗？

（学生思考）

师：我们刚才已经发现，它们的分母中含有字母，分母都是我们以前学过的整式. 那么，分子呢？

生7：也是整式.

师：哪位同学可以把刚才大家发现的这些特征总结一下？

生8：①形如分数.

师：你能用一个简明的式子表示它的结构特点吗？

生8：.

师：这里的B是分母，A是分子.

生8：②分母中含有字母;③分子、分母都是整式.

师：这位同学概括得很全面. 分式形如分数，那大家还记得我们在小学学过分数的哪些内容吗？

生9：通分、约分、分数的运算、分数的基本性质等.

师：本章我们类比分数的学习，也要学习分式的概念、基本性质、通分、约分、分式的运算及分式方程. 你们能用自己的语言给分式下个定义吗？

（学生用自己的语言描述）

师：那么我们如何准确地描述分式呢？一般地，用A，B表示两个整式，A÷B可以表示成的形式. 如果B中含有字母，那么称为分式. 其中A称为分式的分子，B称为分式的分母. 类比分数，我们还需要注意什么？

生10：分母不能为零.

师：为什么？

生10：当分母为零时，分式便无意义.

师：所以我们要特别注意，对于任意一个分式，分式的分母都不能为零.

师：我们刚才通过观察、类比、归纳，得到了分式的概念. 那么，判断一个代数式是不是分式，需要满足几个条件？

生11：三个条件. ①形如分数;②分母中含有字母;③分子、分母都是整式.

师：下列代数式哪些是分式？

①;②;③;④a+b;⑤;⑥.

（对于①③⑤，学生都能正确判断;但对于⑥，有的学生认为不是分式）

师：那么是不是分式呢？它是否符合概念中的三个特征呢？

生12：符合.

师：我们判断一个代数式是不是分式，就是要看它是否符合这三个特征，而不是看它化简后的结果.

（教师接着进行数学知识的进一步拓展）

师：大家请看导学案的第2題——请用下面所给整式中的任意两个，构造分式：x，2，x+1，π.

（学生说出了构造的分式）

师：老师也构造了一个，.

生13：不是分式，因为π不是字母.

师：那谁可以是分母？

生13：x和x+1.

师：2不能当分母吗？

生13：2不是字母.

师：那以x为分母可以构造几个分式？

生14：3个.

师：所以我们一共可以构造几个分式？

生15：6个，，，，，，.

师：通过刚才的两个练习，同学们很好地掌握了分式的概念. 下面请大家思考第二个问题——分式一定有意义吗？

（进入思维拓展的“步步高”）

生16：不一定，分母为零时，分式无意义.

教师给出导学案中的一道题：下列分式满足什么条件时分式无意义？

（1）;（2）;（3）.

（学生在导学案上写出答案，学生代表回答）

师：那什么时候这些分式有意义呢？

（学生一起说答案，并总结、归纳了分式有意义和无意义的条件）

师：大家能解决下面这个问题吗？即当a取何值时，分式无意义？有意义？请同学们进行小组讨论，然后由小组代表发言. 现在开始讨论.

生17：当a=1或a=2时，分式无意义;当a≠1且a≠2时，分式有意义.

师：（对学生的答案加以强调）使分母为0的a的值都会使分式无意义，所以当a=1或a=2时，分式无意义;只要分母不为零，分式就会有意义，所以当a不取1，2这两个能使分母值为零的数时，分式都会有意义，故a≠1且a≠2.

师：大家已经学习过代数式求值，还记得步骤吗？

生18：化简、代入、求值.

教师出示例题：当a=1，2，-1时，分别求分式的值.

（教师让学生分成三组，分别完成当a=1，2，-1时分式的值. 学生完成后，教师让三个学生代表板演）

师：当a取1，2，-1时，分式的值相同吗？

生19：不相同.

师：分式的值随着a的变化而变化. 给定一个a值，就有唯一的一个分式值与之对应. 我们看到当a取-1时，分式值为零.

（实物投影展示学生的解题过程，一起分析. 把a= -1代入计算后，分子为0而分母不为0，于是得到分式的值为0）

师：那么，当a取何值时，分式的值为0？

生20：由分子为0，得到a=1或a=-1;由分母不为0，得到a≠1. 所以a=-1.

生21：由分子为0，得到a=1或a=-1. 而后将a的两个值代入分母中验证是否让分母为0. 最后舍去让分母等于0的a=1，得到a=-1.

生22：将分式约分成a+1后，令a+1=0也可以得到结果.

（教师肯定了生20和生21的回答. 对于生22的回答，应及时指出问题在于分子、分母同时约去了（a-1），但不能确保a-1≠0，所以这种方法不严谨，不能用. 但对于学生善于思考，能类比分数约分得到分式约分的想法，教师应给予肯定）

师：（继续提问，“思维步步高”）当a取何值时，分式的值为0？

生23：由分子为0，得到a=2或a=-2;由分母不为0，得到a≠2. 所以a=-2.

（教师总结、归纳了分式值为0的条件：①分子等于0;②分母不等于0. 这两个条件缺一不可，同时向学生强调：分式值为0的前提是分式有意义，重点讲清两者之间的关系）

（学生掌握了分式有意义、无意义、分式何时值为0的条件后，下面进入“凌绝顶”）

师：请同学们活学活用. 请按照要求构造分式：（1）当x=1时分式无意义;（2）当x=5或x=2时，分式的值为0. 请同学们四人小组展开讨论，然后由小组代表发言.

（学生分组讨论）

第（1）问的答案：或等满足条件的分式;问题（2）的答案：或或等，结论是开放的.

师：同学们对分式的意义、判定等知识、过程和方法都掌握得很好了. 然而，你知道我国古人是怎样表示分式的吗？（“数学文化广角”）

你知道古人是怎么表示分式的吗？例如分式表示成，分式表示为 等. 分式最早是由中国清代数学家、翻译家、教育家李善兰（1811-1882）翻译西方近代科学著作时提出的. 他一部分直接引入西方符号，又结合天干（甲、乙、丙……）和地支（子、丑、寅……），外加“天”“地”“人”“物”4个字表示26个英文字母a，b，c…. 对于分数和分式，采用倒排的表示方法.

（数学史料的展示，让学生了解了分式的表示在不断简化，且越来越方便. 同时，提高了学生的数学学习兴趣，渗透了数学文化）

师：这节课你学到了什么？你还有哪些疑惑？

（学生总结）

师：（布置作业）（1）基础性作业：课本知识技能第1、2题. （2）提高性作业：请你以身边的事为背景，编一道能用我们今天所学知识解决的题目.

评析

这节课是山东师范大学第二附属中学数学组开展的初中拓展式数学课堂教学探索课题的一节典型课例. 这节课着重体现了拓展式数学课堂教学三个模块的教学特征.

1. 第一模块：数学知识的拓展

这节课以北师大版为蓝本，在整合青岛版、人教版和华东师大版有关分式认识的基础上，确立了了解分式的概念、会求分式的值、理解分式有无意义和分式值为0的条件等知识内容目标，在教材的现有知识呈现基础上，适度调整、整合和拓展. 其一，从现实生活和学生的实际需要出发，通过学生身边文明创建的实例进行德育渗透，对学生进行数学史教育，使学生感受数学的发生与发展，更好地体现数学知识之间本来的内在联系. 这也能极大地满足学生学习的需要，使得学习内容在更为现实和广阔的背景下获得充实、深化和提高. 其二，这节课注重了分式概念的获得与体验，让学生通过观察、类比、归纳，得出整式与分式的异同，经历分式概念等知识的形成过程，掌握概念的本质特征，体会分式是表示现实世界中的一类量的数学模型，渗透类比的数学思想方法. 其三，注重知识归纳，应用拓展. 课堂上，教师通过分享同学们构造的分式，理解分式的分母中必须含有字母. 学习分式的概念，类比分数后，学生知道分式中的分母不能为零，于是教师引导学生注意到分式的分母中含有字母，而字母可以代表任意数，分母的值可能为0，让学生理解分式的意义. 这样的操作能让学生进一步理解分式无意义、有意义的同时，理解“或”和“且”的不同，从而进一步拓展对分式的认识.

2. 第二模块：数学思维的拓展

拓展学生的数学思维能力，这是初中数学教学的基本教学目标之一. 这节课通过问题变式进行思维拓展，取得了显著的教学效果. 教师精选例题，通过例题中的第（1）问引导学生理解给定一个a值，就有唯一的一个分式的值与之对应，渗透函数思想. 接着，通过三道变式题让学生理解分式的值为0的前提是分式有意义. 所以分式值为0的条件是分子为0且分母不能为0. 再通过设置一个开放性问题，让学生在构造分式的同时进一步理解分式的意义及分式值为0的条件. 教学中，教师适时安排小组合作与讨论，培养学生的合作学习意识和能力. 在数学教学中，教师应搭建平台，尊重学生的思维方式和探索精神，根据学生的差异进行数学思维拓展，给予学生展示自我的空间，从而使开发并拓展数学思维成为可能.

3. 第三模塊：数学文化的拓展

拓展式数学课堂应充分展示数学文化的魅力，激发学生学习数学的兴趣. 所以教师应在教学中适时进行文化渗透、课外拓展. 这节课，教师在教学中穿插了李善兰（1811-1882）翻译西方近代科学著作时的分式表示，对学生进行了数学史教育，能让学生通过分式表示从繁到简的大致过程，感受到数学的发生与发展，体会唯物辩证法的核心思想——发展、运动与变化，升华了学生对分式的理解和认识，也增进了学生的数学文化素养.

此外，教师布置的以身边的事为背景，编一道能用今天所学知识解决的题目作为拓展性作业，形式新颖，满足了不同层次学生的发展需要，能让学生体会到数学来源于生活并应用于生活，从而把对知识的巩固学习延伸到课外，增强了学生的学习效果.

参考文献：

[1]傅海伦，权奎，孟庆玲，刁桂兰. 数学拓展式课堂教学及案例分析[J]. 中学数学杂志，2016（8）.

[2]王晓，傅海伦，徐小惠，于春杰. 数学拓展式习题课变式问题的教学策略[J]. 中学数学杂志，2017（2）.