关注数列求和的常用角度

陆黎宇

本文拟通过归类举例的形式，具体说明数列求和的常用角度，以帮助读者理清常用解题技巧，进一步提升解题技能.

常用角度一  利用“公式法”探求数列求和

遇到等差或等比型数列求和，可直接利用等差、等比数列的求和公式加以求解.破解此类题的关键点：① 理清公式;② 灵活选用.

例1   若等比数列{an}的公比q≠1，且满足a1+a2+a3+a4+a5=6，a21+a22+a23+a24+a25=18，则a1-a2+a3-a4+a5的值是 .

解析  由题设得 a21（1-q10） 1-q2 =18 a1（1+q5） 1+q ·  a1（1-q5） 1-q =18，又 a1（1-q5） 1-q =6，所以化简得 a1（1+q5） 1+q =3.

故所求a1-a2+a3-a4+a5= a1[1-（-q）5] 1-（-q） = a1（1+q5） 1+q =3.

评注  一般地，若{an}是公比为q的等比数列，则{a2n}是公比为q2的等比数列，{（-1）n+1an}是公比为-q的等比数列.

常用角度二  利用“倒序相加法”探求数列求和

如果一个数列{an}满足：与首末两项“等距离”的两项之和为同一结果，则可采用把正着写和倒着写的两个式子相加，由此化简即可求出该数列的前n项和.破解此类题的关键点：① 理清适用条件;② 对应相加化简.

例2   已知函数f x+ 1 2  为奇函数，g（x）=f（x）+1，an=g  n 2019  ，则数列{an}的前2018项的和为（  ）.

A.2016

B.2017

C.2018

D.2019

解析  因为f x+ 1 2  为奇函数，所以函数f（x）的图像关于点  1 2 ，0 对称，则函数g（x）=f（x）+1的图像关于点  1 2 ，1 对称，故有g（x）+g（1-x）=2.

令x= 1 2019 ， 2 2019 ，…， 2018 2019 ，则有g  1 2019  +g  2018 2019  =g  2 2019  +g  2017 2019  =…=g  2018 2019  +g  1 2019  =2.

设S=g  1 2019  +g  2 2019  +…+g  2018 2019  ，

则倒序后得S=g  2018 2019  +g  2017 2019  +…+g  1 2019  ，

于是将以上两式相加可得

2S= g  1 2019  +g  2018 2019   + g  2 2019  +g  2017 2019   + …+ g  2018 2019  +g  1 2019   =2018×2，化简得S=2018.故选C.

评注  本题实际上是数列求和问题，解题切入点是根据题设得到化简式中各项满足的规律、特点——g（x）+g（1-x）=2;然后再灵活运用“倒序相加法”即可顺利获解.

常用角度三  利用“裂项法”探求数列求和

如果一个数列的通项能够拆成两项之差的形式，那么利用一些正负项相互抵消，可求出该数列的前n项和.破解此类题的关键点：① 理清适用条件;② 关注抵消规律.

例3   已知an=4n2-1，bn= 1 an ，求数列{bn}的前n项和Sn.

解析  因为bn= 1 4n2-1 = 1 （2n-1）（2n+1） = 1 2   1 2n-1 - 1 2n+1  ，

故所求Sn= 1 2   1- 1 3  +  1 3 - 1 5  +…+  1 2n-1 - 1 2n+1   = 1 2  1- 1 2n+1  = n 2n+1 .

评注  本题求解的关键在于，灵活运用平方差公式对通项bn= 1 4n2-1 进行裂项变形.常见裂项形式还有：

1 n（n+1） = 1 n - 1 n+1 ，

1 （3n-1）（3n+2） = 1 3   1 3n-1 - 1 3n+2  ，

1  n+1 + n  = n+1 - n .

常用角度四  利用“错位相减法”探求数列求和

若数列{an}是等差数列（公差为d，且d≠0），数列{bn}是等比数列（公比为q，且q≠1），则求数列{an·bn}的前n项和Sn时，可利用“错位相减法”.破解此类题的关键点：① 理清适用条件;② 错位作差化简.

例4   已知an=2n，bn=3n-1，cn= bn an ，求数列{cn}的前n项和为Sn.

解析  由题设知，cn= 3n-1 2n ，

所以Sn= 2 21 + 5 22 + 8 23 +…+ 3n-1 2n ， ①

2Sn=2+ 5 21 + 8 22 +…+ 3n-1 2n-1 . ②

于是，由②-①得Sn=2+ 3 21 + 3 22 +…+ 3 2n-1 - 3n-1 2n .

故所求Sn=2+  3 2  1- 1 2n-1   1- 1 2  - 3n-1 2n =5- 3n+5 2n .

評注  此类问题学生极易出错，请注意两点：一是错位相减后所得等式的准确书写;二是化简运算时一定要认真、细心（必要时，可对求和结果加以验证）.

综上，数列求和具有较强的规律可遵循，需要我们在做题中加以认真领会，逐步加强对知识的灵活运用能力，感悟解题思维的精妙处.