基于层次分析法的数值分析课程达成度方法

【摘要】 本文針对高校大学生数值分析课程成绩的具体情况，提出一种基于层次分析法的数值分析课程达成度的方法.通过该方法对某班的数值分析成绩有效地计算出课程达成度，找出薄弱点，并提出合理的建议，同时也为理工科的工程认证提供了一种课程达成度的评价方法.

【关键词】 数值分析;层次分析法;课程达成度

【基金项目】 西安财经学院2016年度教学研究重点项目（16xcj01）;西安统计研究院研究项目（14JD02）.

在科学技术和计算机技术高速发展的时代，数值分析的理论与算法已成为科学研究的主要方法之一.对高校大学生的数值分析成绩，尚未建立完整、全面的成绩评价方法.为了激发学生学习本门课程的积极性，提高实践和创新能力，有效提高教学质量，对数值分析的考试成绩采用一定的数理方法，对不同的知识点进行定量或定性的评价，分析出学生对知识点的整体掌握情况.考虑到方法的适用性和可推广性，笔者选择20世纪70年代初期由美国运筹学家T.L.Saaty提出的层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简记AHP）来构建数值分析课程达成度的方法，并以某班级的数值分析考试成绩为例，运用该方法有效地计算了某班级数值分析的课程达成度，最后给出合理的建议，同时也为理工科的工程认证提供了一种课程达成度的评价方法.

AHP法是一种将与决策有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，并在此基础上进行定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析决策方法.选择某高校某班的数值分析课程（总课时54）的成绩数据来说明基于AHP法的数值分析课程达成度的方法.

一、建立层次结构模型

层次结构模型的建立是AHP法的基础.根据教学大纲要求，将数值分析教学内容条理化和层次化，分解为有两个层次的结构模型，最上层为目标层，最下层为准则层，分为五个方面，如图1所示.

二、构造成对比较阵

成对比较阵的构造是AHP法的关键.从层次结构模型的第2层开始，对从属于上一层 O每个因素的同一层诸因素，用成对比较法和1-9比较尺度构造成对比较阵，取两个因素Ci和Cj，i，j=1，…，5，用aij，i，j=1，…，5，表示Ci和Cj，i，j=1，…，5对O的影响之比，直到最下层.

根据数值分析内容的重要程度及相互影响关系构造成对比较阵.插值法是一种逼近函数的构造方法，故C1对C2的影响稍强，选取a12=3;数值积分是基于插值原理推导出来的，故插值法对数值积分的影响较强，选取a13=5;处理数值积分的基本方法就是逼近法，故选取a23=3;直接法中介绍的范数知识是判断迭代法收敛与否的主要依据，故选取a45=4;解线性方程组的迭代法实际上也是一种函数逼近的方法，故选取a25=4.根据aji= 1 aij ，i，j=1，…，5，构造成对比较阵 A ，显然 A 是正互反阵，如下：

A =  1 3 5 2 2 1 3  1 4 2 4 1 5   1 4  1  1 2   1 2  1 2   1 2  2 1 4 1 2   1 4  2  1 4  1   .

三、计算权向量并做一致性检验

进行一致性检验是保证AHP法客观、科学的关键.由已知定理n阶正互反阵 A 的最大特征值λ≥n及λ连续地依赖于aij可知，λ比n大得越多， A 的不一致程度越严重，用特征向量作为权向量引起的判断误差越大，因此，Saaty引入一致性指标CI.CI=0时， A 为一致阵;CI越大， A 的不一致程度越严重.为了确定 A 的不一致程度的容许范围，Saaty又引入了随机一致性指标RI.将CI和RI之比称为一致性比率CR，当CR<0.1时，认为 A 的不一致程度在容许范围之内，可用其特征向量作为权向量.

对成对比较阵 A ，求出最大特征值λ=5.422 5和归一化的特征向量（即分量之和为1）ω=（0.382 7，0.262 9，0.064 9，0.191 2，0.098 3），求出判断矩阵的一致性指标CI=0.105 625，通过查表所得随机一致性指标RI=1.12，由此求出一致性比率CR= 0.105 625 1.12 =0.094 308<0.1，一致性检验通过，否则对矩阵做适当修正.上述ω可以作为权向量，这种求权向量的方法称为特征向量法.事实上，也可以采用几何平均法、算术平均法和最小二乘法.

四、计算课程达成度

课程达成度的计算是判断学生对课程掌握程度的依据.笔者对本班的数值分析课程成绩做统计分析，如表1所示.将权向量与平均得分率向量做内积，得到本班学生的数值分析课程达成度为48.92 % ，说明本班学生对本门课程的掌握程度很差，对全部知识的掌握程度还不到一半，尤其是插值法和解线性方程组的迭代法掌握得更差.

五、总 结

基于AHP法构建的数值分析课程成绩的达成度方法，计算上具有简单、实用、可操作性强等优点.该方法思路简单明了，便于计算;所需要的定量化数据较少，但对问题的本质、问题所涉及的因素及其内在关系分析得比较透彻、清楚.该方法不仅有定性分析，同时将定量与定性分析相结合，完成了课程达成度计算，同时可拓展至专业达成度的计算，为工程认证等相关工作中达成度计算提供了一种可行方法.通过AHP法有效地计算出某班数值分析的课程达成度，了解了学生对知识点的掌握程度，找出学生在本门课程中的薄弱点，不断改进教学方法，增加教学辅助手段，均取 得了较好的学习效果，有效地提高了学生学习本门课程的积极性和主动性，提高了教学质量，达到了预期的教学效 果.

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