对概率论中“数学期望”概念的教学思考

羊豪

【摘要】 数学期望是随机变量领域的一个重要概念，在概念领域有着无可替代的重要地位.数学期望对学生来讲是一个比较抽象的概念，学生对数学期望概念及特征的掌握不透彻，本文将抽象的“期望”概念化为形象、具体的知识，让学生更好地理解期望的概念、特征及具体应用等.

【关键词】 概率论;数学期望;教学思考

一、“数学期望”概念及导入

课程的导入是至关重要的，一堂课的开始通过趣味性的导入，可以使本节课的教学内容更加形象生动地呈现在学生眼前，从而调动学生的积极性，提高学生的自主探究能力，进而使学生更好地学习本节知识.

（一）随机变量数字特征引入的原因

随机变量的数字特征主要描述随机变量在某些方面的性质和特征，比较常用的有：数学期望、方差、协方差和相关的系数等.正如我们所了解的，随机变量分布函数可以从全方位进行描述随机变量自身的各个特性，但教师还需要导入數字特征的概念，可以从以下两方面给学生讲解原因.

1.在现实生活中，其实不需要我们去观察随机变量的具体变化规律，只需掌握其中某些随机变量数字特征的变化情况，就可以轻而易举地做出判断，得出结论.如，在期末考试结束后，对班级内的学生进行成绩考查，教师只需要计算出学生的平均分及其标准差，就可以对这个班的学习情况做出判断并得出准确结论.

2.正如我们所了解的，分布函数不容易求解，这时可以给同学们展示具体的例子，让学生通过计算，知道分布函数不容易求解，退而求其次来分析、研究随机变量的数字特征，使学生知道随机变量数字特征的引入在某个角度上是随机变量分布函数的简便操作.

（二）本章小介绍

在每章章首都有一个本章小简介，这个简介在每章中是非常重要的，学生预习或讲新课之前教师带领学生读一读本章简介，学生们就会比较容易地把握本章学习内容，使学生对整体框架进行初步的了解，在接下来的讲课过程中，就能更容易地对课堂重点内容进行理解把握与记忆.在“数字特征”这章中，主要从以下几个方面进行讲解.

1.数学期望E（X）是随机变量X的重要特征之一，用来反映随机变量集中位置的数字特征，即表示了X的平均值的大小[1].

2.方差D（X）反映了随机变量的取值在均值周围的离散程度的数字特征.

3.协方差、相关系数反映了两个随机变量X，Y相关程度的数字特征.

（三）结合例题进行分析

导入一堂新课的小例题具有承上启下的作用，它能够开启本节新课，指导学生对新课的研究分析与学习，可以使学生更顺利地将前后所学知识结合在一起，从而更好地理解、掌握及运用本节课所学知识，形成比较系统的知识网络.

1.关于权重的相关问题

设随机变量X的取值情况有两种：X1=100，X2=200.随机变量X的分布列f（n1）=0.01，f（n2）=0.99，求X的平均值.

解析：如果这样计算，那么X的平均值= 100+200 2 =150很明显是不合理的，以此来让同学们自己计算更为准确的平均分，对其进行引导，X的平均分应该等于100×0.01+200×0.99=199，之后再布置小练习让学生加以练习掌握.

2.刘备、曹操赌金问题

通过趣味性的小故事，调动学生学习的积极性，激发学生渴求知识的欲望，从而使学生能够更好地掌握所学知识，理解更加透彻，运用更加准确.本节课的趣味小例题2是刘备、曹操赌金问题，如下：

曹操、刘备各拿50金作为赌金，规则为五局三胜，假设已经进行了三局，刘备胜一局负了两局.这时，由于某些外在原因被迫终止了比赛，则赌资如何分配？

用X表示曹操获得的赌金数，则可得出概率分布表：

X 0 100

Pn  1 4   3 4

则得出0× 1 4 +100× 3 4 =75.

通过这两个例题的趣味讲解，使学生能更好地掌握概率论及本节所学内容，这样也能加深学生的理解与记忆，让学生通过更多的练习，学会自主学习与探究，将今日所学知识熟练地运用到今后的实际生活中去.

二、离散型变量“数学期望”注意事项

（一）数学期望是一个确定的常数，而不是随机的、不确定的

离散型随机变量的数学期望正如计算公式所示是一个无穷级数的和，若变量X有限，则E（X）就是加权平均值.

（二）研究表明，有的随机变量的数学期望值可能不存在

要想存在必须满足的条件是正项级数，如，∣xi∣与xi所代表的意义就不尽相同了.在这里∣xi∣是满足正项级数的，而xi还可能是个负值，因此，其所对应的随机变量的数学期望值可能不存在[2].

（三）“期望值”并不等同于“期望”

也就是说期望值可能不在随机变量的取值范围之中.如，向空中抛一个六个面标有1，2，3，4，5，6的正方体物块，在每个面朝上的可能性都均等的情况下，求掷的数学期望如下：

根据定义可得E（X）=1× 1 6 +2× 1 6 +3× 1 6 +4× 1 6 +5× 1 6 +6× 1 6 =3.5，那么我们想一想，六个面中有哪个面标有3.5呢？可想而知，很显然没有，这就是所说的“期望值”不一定等于“期望”[3].

三、总 结

一堂新课的引入与重点知识讲解的好坏都直接决定了这堂课的成功与失败.虽然“数学期望”是一个比较抽象的概念，但我们可以利用好的教学方法使它具体化，从而使学生更好地掌握数学期望的概念，教师可以进行趣味导入，吸引学生们的注意力，调动学生们的积极性，通过例题的讲解，让学生大量练习相关题目，熟练运用数学期望.

【参考文献】

[1]曹小玲.浅谈概率论中“数学期望”概念的讲解[J].教育教学论坛，2014（45）：199-201.

[2]谢永钦.概率论与数理统计（第2版）[M].北京：北京邮电大学出版社，2013：89-98.

[3]段丽凌.浅析数学期望在经济生活中的应用[J].商场现代化，2008（11）：398-399.