一类对称循环行列式的性质

【摘要】 本文利用引理1：∑ p k=0 （-1）k（k+m）pCkp=（-1）pp！和引理2：∑ p-1 k=0 （-1）k（k+m）pCkP-1= 1 2 （-1）p-1（p-1+2m）p！ （这里m=1，2，…，p+1）研究和证明了p+1阶行列式Dp+1=|dij|，dij=（i+j-1）pi，j=1，2，…，p+1的性质.

【关键词】 行列式;代数余子式

设p是任意给定的正整数，令dij=（i+j-1）pi，j=1，2，…，p+1，对p+1阶行列式Dp+1=|dij|，即

Dp+1=  1p 2p 3p … pp （p+1）p2p 3p 4p … （p+1）p （p+2）p3p 4p 5p … （p+2）p （p+3）p   pp （p+1）p （p+2）p … （2p-1）p （2p）p（p+1）p （p+2）p （p+3）p … （2p）p （2p+1）p   .  （0）

文[1]给出了Dp+1的计算公式，并给出了相应的推论.由于Dp+1的对称循环性，肯定还有其他优越的性质，探讨它和dij的代数余子式Aij之间的关系，为求p+1阶矩阵A=（dij）的逆矩阵做准备和铺垫工作是很有必要的.

一、两个引理

我们工作的基础是引理1和引理2.

引理1  对任意给定的正整数p和m=1，2，…，p+1均有∑ p k=0 （-1）k（k+m）pCkp=（-1）pp！

引理2  对任意给定的正整数p和m=1，2，…，p+1均有∑ p-1 k=0 （-1）k（k+m）pCkP-1= 1 2 （-1）p-1（p-1+2m）p！

证明方法见文[2].

二、Dp+1的性质

我们把文[1]中的定理作为性质1.

性质1  设p是任意给定的正整数，元素dij=（i+j-1）p，i，j=1，2，…，p+1，则p+1阶行列式：

Dp+1=|dij|= （-1） p+1 2 （p！）p+1，p为奇数，（-1） p 2 （p！）p+1，p为偶数.

性质2  设Aij，i，j=1，2，…，p+1是dij的代数余子式，则

Am1+Am2+…+Amp+1=

（-1）mCm-1p（-1） p+1 2 （p！）p，p为奇数，（-1）m-1Cm-1p（-1） p 2 （p！）p，p为偶数，

m=1，2，…，p+1.

证明  当p为奇数时，在（0）式中，从第一行到第p+1行分别乘C0p，-C1p，…，（-1）m-1Cm-1p，Cp-1p，-Cpp后累加到第m行.再将累加结果除以（-1）m-1Cm-1p，由引理1知第m行的元素均为- p！ （-1）m-1Cm-1p .

提取公因子- p！ （-1）m-1Cm-1p ，利用性质1得

Am1+Am2+…+Amp+1= （-1）mCm-1pDp+1 p！ =

（-1）mCm-1p（-1） p+1 2 （p！）p.

当p为偶数时，证明方法完全类同.

由性质2，容易看出.

性质3  ∑ p+1 m=1 ∑ p+1 k=1 Amk=0.

性质4  （p+1）Am1+（p+3）Am2+…+（3p-1）Amp+（3p+1）Amp+1= 2（-1）m-1Cm-1p-1（-1） p+1 2 （p！）p，p为奇数，2（-1）mCm-1p-1（-1） p 2 （p！）p，p为偶数，  m=1，2，…，p.

证明  当p为奇数时，在（0）式中，从第一行到第p行分别乘C0p-1，-C1p-1，…，（-1）m-1Cm-1p-1，…，-Cp-2p-1，Cp-1p-1后累加到第m行，再将累加结果除以（-1）m-1Cm-1p-1，由引理2知，第m行的元素依次为  1 2 （p+1）p！ （-1）m-1Cm-1p-1 ，  1 2 （p+3）p！ （-1）m-1Cm-1p-1 ，…，  1 2 （3p-1）p！ （-1）m-1Cm-1p-1 ，  1 2 （3p+1）p！ （-1）m-1Cm-1p-1 .

提取公因子  1 2 p！ （-1）m-1Cm-1p-1 后，利用性质1得

（p+1）Am1+（p+3）Am2+…+（3p-1）Amp+（3p+ 1）Amp+1= 2（-1）m-1Cm-1p-1Dp+1 p！ =2（-1）m-1Cm-1p-1（-1） p+1 2 （p！）p.

当p为偶数时，证明方法完全类同.

性质5  （p+3）Am1+（p+5）Am2+…+（3p+1）Amp+（3p+3）Amp+1= 2（-1）m-2Cm-2p-1（-1） p+1 2 （p！）p，p为奇数，2（-1）m-1Cm-2p-1（-1） p 2 （p！）p，p为偶数，  m=2，3，…，p+1.

证明  在（0）式中，当p为奇数时，从第二行到第p+1行分別乘C0p-1，-C1p-1，…，（-1）m-2Cm-2p-1，…，-Cp-2p-1，Cp-1p-1后累加到第m行，再将累加结果除以（-1）m-2Cm-2p-1，由引理2 知，第m行的元素依次为  1 2 （p+3）p！ （-1）m-2Cm-2p-1 ，  1 2 （p+5）p！ （-1）m-2Cm-2p-1 ，…，  1 2 （3p+1）p！ （-1）m-2Cm-2p-1 ，  1 2 （3p+3）p！ （-1）m-2Cm-2p-1 .

提取公因子  1 2 p！ （-1）m-2Cm-2p-1 后，利用性质1得

（p+3）Am1+（p+5）Am2+…+（3p+1）Amp+（3p+ 3）Amp+1= 2（-1）m-2Cm-2p-1Dp+1 p！ =2（-1）m-2Cm-2p-1（-1） p+1 2 （p！）p.

当p为偶数时，证明方法完全类同.

由性质4和性质5容易看出.

性质6  ∑ p m=1 ∑ p+1 k=1 （p+2k-1）Amk=0∑ p+1 m=2 ∑ p+2 k=2 （p+2k-1）Amk=0.

性质7  （1）（p+1）Ap+11+（p+3）Ap+12+…+（3p-1）Ap+1p+（3p+1）Ap+1p+1=0;

（2）（p+3）A11+（p+5）A12+…+（3p+1）A1p+（3p+3）A1p+1=0.

证明  （1）在（0）式中

1pAp+11+2pAp+12+3pAp+13+…+ppAp+1p+（p+1）pAp+1p+1=0，2pAp+11+3pAp+12+4pAp+13+…+（p+1）pAp+1p+（p+2）pAp+1p+1=0，  （p-1）pAp+11+ppAp+12+（p+1）pAp+13+…+（2p-2）pAp+1p+（2p-1）pAp+1p+1=0，ppAp+11+（p+1）pAp+12+（p+2）pAp+13+…+（2p-1）pAp+1p+（2p）pAp+1p+1=0.

当p为奇数时，在上列方程组中，从第一个方程到第p个方程依次乘C0p-1，-C1p-1，C2p-1，…，-Cp-2p-1，Cp-1p-1后将p个方程累加得

∑ p-1 k=0 （-1）k（k+1）pCkp-1 Ap+11+ ∑ p-1 k=0 （-1）k（k+2）pCkp-1 Ap+12+ ∑ p-1 k=0 （-1）k（k+3）pCkp-1 Ap+13+…+ ∑ p-1 k=0 （-1）k（k+p）pCkp-1 Ap+1p+ ∑ p-1 k=0 （-1）k（k+p+1）pCkp-1 Ap+1p+1=0.

利用引理2得：

1 2 （p+1）p！Ap+11+ 1 2 （p+3）p！Ap+12+ 1 2 （p+5）p！Ap+13+…+ 1 2 （3p-1）p！Ap+1p+ 1 2 （3p+1）p！Ap+1p+1=0，

整理得：

（p+1）Ap+11+（p+3）Ap+12+（p+5）Ap+13+…+（3p-1）Ap+1p+（3p+1）Ap+1p+1=0.

當p为偶数时，证明方法完全类同.同理可以证明（2）.

性质8  设a是任意实数，则|dij+a|=|dij|=Dp+1即

|dij+a|=

1p+a 2p+a … pp+a （p+1）p+a2p+a 3p+a … （p+1）p+a （p+2）p+a   pp+a （p+1）p+a … （2p-1）p+a （2p）p+a（p+1）p+a （p+2）p+a … （2p）p+a （2p+1）p+a   =

1p 2p … pp （p+1）p2p 3p … （p+1）p （p+2）p   pp （p+1）p … （2p-1）p （2p）p（p+1）p （p+2）p … （2p）p （2p+1）p

=|dij|=Dp+1.

证明  由行列式的基本性质得

|dij+a|=

1p-2p 2p-3p … pp-（p+1）p （p+1）p+a2p-3p 3p-4p … （p+1）p-（p+2）p （p+2）p+a   pp-（p+1）p （p+1）p-（p+2）p … （2p-1）p-（2p）p （2p）p+a（p+1）p-（p+2）p （p+2）p-（p+3）p … （2p）p-（2p+1）p （2p+1）p+a  =

1p-2p 2p-3p … pp-（p+1）p （p+1）p2p-3p 3p-4p … （p+1）p-（p+2）p （p+2）p   pp-（p+1）p （p+1）p-（p+2）p … （2p-1）p-（2p）p （2p）p（p+1）p-（p+2）p （p+2）p-（p+3）p … （2p）p-（2p+1）p （2p+1）p  +

1p-2p 2p-3p … pp-（p+1）p a2p-3p 3p-4p … （p+1）p-（p+2）p a   pp-（p+1）p （p+1）p-（p+2）p … （2p-1）p-（2p）p a（p+1）p-（p+2）p （p+2）p-（p+3）p … （2p）p-（2p+1）p a    =

Dp+1+D.

在D中，若p为奇数，从第一行到第p+1行分别乘C0p，-C1p，C2p，…，Cp-1p，-Cpp后累加到第p+1行，将累加结果乘-1，由引理1得

D=  1p-2p 2p-3p … pp-（p+1）p a2p-3p 3p-4p … （p+1）p-（p+2）p a   pp-（p+1）p （p+1）p-（p+2）p … （2p-1）p-（2p）p a0 0 … 0 0  = 0.

当p为偶数时，同理可得D=0.

从而|dij+a|=|dij|=Dp+1证毕.

三、结 语

要想进一步研究和探讨Dp+1的性质，还需要创造求和公式∑ p-2 k=0 （-1）kkpCkp-2，∑ p-3 k=0 （-1）kkpCkp-3及相应的∑ p-2 k=0 （-1）k（k+m）pCkp-2，∑ p-3 k=0 （-1）k（k+m）pCkp-3，m=1，2，…，p+1，以及解题技巧和方法，望有兴趣的读者研究.

【参考文献】

[1]田心.一类对称循环行列式的解法[J].数学学习与研究（教研版），2018（21）：16-17.

[2]田心.一组有趣的组合公式[J].中学数学，2018（6上）：93-94.