探秘牛顿植树问题

王 娜

“每行植三株，九株栽十行；种法有多样，请你试试看．”据说这是牛顿曾经提出并思考过的“九树十行”问题．

同学们，动动手，相信你也能给出答案：作一个对称的图形，三横一竖、六根斜线（如图1所示），轻松解决了这个“九树十行”的植树难题．

图1

按实际生活经验，每行3棵，要栽10行，不是需要30棵树吗？现在只有9棵，那有些树肯定应栽在几行的交点上．我们为何会想到画出这样的对称图形？是否有据可依？

我先给同学们普及一下帕普斯定理．

帕普斯定理可以叙述成下面的形式：

如图2，设六边形ABCDEF的顶点交替分布在两条直线a和b上，那么它的三双“对边”所在直线的交点X，Y，Z在一直线上．

图2

问题初看有点复杂，为了让同学们充分理解定理，我们把问题具体划分为几个步骤进行，同学们可以自己尝试画出这张图形．

三点A，E，C在直线a上，三点D，B，F在直线b上．顺次连结线段AB，BC，CD，DE，EF，FA，得到一条封闭折线ABCDEF，此封闭折线也就是一般意义下的多边形．看六边形的名称ABCDEF，就能知道它的哪两条边是对边．例如，在六边形名称ABCDEF中，字母B和C相邻，说明BC是它的一条边，那么EF就是BC的对边．利用“六边形”和“对边”这两个简单术语，就能概括图2中9个点和9条直线之间的复杂关系．

（注：帕普斯定理的证明可参考《新概念几何》（张景中，2002））

可以看到，图2中有9个点，9条线，每个点上有3条线通过，每条线上又有3个点，由此可直接得到“九树九行”．为了解答现实版的“九树十行”问题，需要在上面“九树九行”的基础上，增加一条新的直线，成为第十条．

图3

应该怎样安排，才能出现第十条直线呢？

我们回顾文章开头所述问题及图1，显然，运用特殊化的数学思想，让图形具备对称性以后，就完美地出现了第10条直线BE（如图3所示）．

继续开动脑筋，如何在一般图形中得到第10条线呢？

如图4所示，可采用下面的办法：

图4

任意作两条直线a和b；

在a上任意取三点A，C，E；

在b上任意取两点B，D；

连结直线AB，BC，CD，DE，AD，记AB与DE的交点为X，BC与AD的交点为Y；

连结直线EY，交直线b于点F；

连结直线FA，交CD于点Z，那么根据帕普斯定理，三点X，Y，Z在一直线上．

这就是解答“九树十行”问题的一般方法．由于两直线a和b的相关位置可以任意变化，六边形顶点在a和b上的排列顺序和距离也可大幅度调节，所以能画出千变万化的解答图形．同学们可以自己尝试操作一下．