算两次，显奇效

徐子茗

在高中一年的数学学习中，我印象最深刻的当属向量了，作为一种沟通代数、几何和三角函数的利器，向量在处理很多问题时有着无与伦比的优越性．如三角形重心问题，我们知道三角形中三条中线交于一点称为重心，并且重心分中线形成的线段长度之比为2∶1，如何证明这一结论，用传统的方法证明大费周章，而用向量法则简单明了．

如图，E，F分别为边AC，AB的中点，G为△ABC的重心．

图1

而后的学习中，我们又多次与“算两次”不期而遇：

例1如图，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且求．

图2

例2两角差的余弦公式的推导证明．

设a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），向量a，b的夹角为θ，则cosθ=cos（α-β）．

一方面a·b=（cosα，sinα）·（cosβ，sinβ）=cosαcosβ+sinαsinβ，

另一方面a·b=|a|·|b|cosθ=cos（α-β），

于是有cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．

例3数列中的子数列问题．

已知等差数列｛an｝的通项公式为an=2n-1，ak1，ak2，ak3，…，akn构成等比数列，其中k1=1，k2=2，求数列｛kn｝的通项公式．

一方面，在等差数列中，akn=2kn-1，

另一方面，在等比数列中，akn=3n-1，

通过上面的例子，想必同学们对“算两次”有了更深入的理解：对同一个数学问题，从两个不同的角度，运用两种不同的方式计算两次，借助“殊途同归”的等量关系，达到出奇制胜的效果．简单的说，我理解的“算两次”就是“一方面，另一方面，综合可得”．其实，我们对“算两次”思想并不陌生，早在小学时我们就自觉使用过，如做算术题时要保证正确率我们需要再算一次，但如果只是循规蹈矩完全重复算一遍是很难发现错误的，所以要尽可能采取不同的路径（如减法用加法检验，除法用乘法检验等）；又如初中计算如图3所示的正方形面积时，一方面看整体，面积为（a+b）2；另一方面，化整为零，四个矩形的面积和为a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2，于是得到平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2，是不是很直观？

图3