立体几何中如何探寻线线平行

刘永瑞

线面平行可以通过线面平行的判定定理，或线面平行是立体几何的重要问题．证明者是面面平行的性质来证明，其中主要还是要依靠线面平行的判定定理，即通过线线平行证明线面平行，因此寻找线线平行是解决问题的关键所在．

常见的线线平行主要从平面几何的相关定理、线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理等途径得到，下面我们举例来说明．

例1如图1，在四棱锥P-ABCD中，M，N分别是AB，PC的中点，若四边形ABCD是平行四边形，求证：MN∥平面PAD．

图1

分析1本题条件中有M，N分别是AB，PC的中点，线段中点让我们联想到三角形的中位线，中位线平行于底边，我们可以利用这一点构作辅助线．

证明1如图2，取PD的中点K，连结NK，AK，则NK是△PCD的中位线，所以NK∥CD，且又因为底面ABCD是平行四边形且M是边AB的中点．所以AM∥CD，且，所以AM∥NK且AM=NK，则四边形AMNK为平行四边形，所以MN∥AK．又因为MN⊄平面PAD，AK⊂平面PAD，所以MN∥平面PAD．

图2

分析2我们还可以反过来思考，既然要证明MN∥平面PAD，那么如果过MN作一个平面与平面PAD有一条交线，则MN自然应该与这条交线平行，我们可以用这种方法来探寻与MN平行的直线．

证明2如图3，连结CM并延长与DA的延长线交于点K，连结PK．因为CB∥AK，M是AB的中点，所以M也是CK的中点．又N是PC的中点，则MN是△PCK的中位线，所以MN∥PK．又因为MN⊄平面PAD，PK⊂平面PAD，所以MN∥平面PAD．

图3

总结1．在这个例子中，无论证法1，还是证法2，都充分利用中点联想到平面几何中的中位线、平行四边形，因此利用平面几何的相关定理和结论能帮助我们寻找到线线平行；平面几何中涉及线线平行的其他结论，比如由对应线段成比例推得两直线平行，平面内垂直于同一直线两直线平行等等也常常会用到．

2．事实上，证法1与证法2的另一个共同点就在于都是过MN作了一个平面，使该平面与平面PAD相交，那么证明MN与这条交线平行就是我们要找的线线平行．

例2 如图4，平行四边形EFGH的顶点分别在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，求证：BD∥平面EFGH．

图4

分析本题中主要条件就是平行四边形EFGH，它提供了线线平行，但并不能直接用于证明BD∥平面EFGH，而线线平行可以先转为线面平行，再用线面平行的性质定理，转化为线线平行，通过这种路径也能得到我们需要的线线平行．具体证明如下：

证明因为四边形EFGH是平行四边形，

所以EH∥GF．

又因为EH⊄平面BCD，FG⊂平面BCD，

所以EH∥平面BCD．

又因为EH⊂平面ABD，平面BCD∩平面ABD=BD，

所以EH∥BD．

又因为BD⊄平面EFGH，EH⊂平面EFGH，

所以BD∥平面EFGH．

总结通过线面平行的性质定理，从线面平行中获得线线平行，是一条寻找线线平行的重要方法．同样的道理，我们还可以将面面平行的条件通过面面平行的性质定理直接转化为我们需要的线线平行．

例3如图5，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC，求证：EF∥平面BB1D1．

图5

分析题中主要信息：①以正方体为载体；②EF分别与两条异面直线A1D，AC垂直，要证明线面平行，也就是要求我们从垂直的信息中挖掘出平行关系，这使我们联想到线面垂直的性质定理，即垂直于同一平面的两直线平行．证明如下：

证明如图6，连结AB1，B1C，BD．

图6

因为DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

所以DD1⊥AC．

又因为AC⊥BD，BD∩DD1=D，

所以AC⊥平面BDD1B1．

又因为BD1⊂平面BDD1B1，

所以BD1⊥AC．

同理可证，BD1⊥B1C．

所以BD1⊥平面AB1C．

因为EF⊥A1D，A1D∥B1C，

所以EF⊥B1C．

又因为EF⊥AC，B1C∩AC=C，

所以EF⊥平面AB1C，

所以EF∥BD1．

又因为EF⊄平面BB1D1，BD1⊂平面BB1D1，

所以EF∥平面BB1D1．

总结本题解答过程就是着重于证明两个线面垂直，再结合线面垂直的性质定理，得到我们所需要的平行关系，可见这也是得到线线平行的一条路径．