老师，我怎么学会思考——平面向量篇

王思俭

铃声响起，考试结束，教室里顿时沸腾起来，七嘴八舌，议论纷纷：

这道平面几何与向量数量积结合的题目我又没有做出来；

那道类似于2018年某省市的高考题，我足足做了15分钟，结果还是以失败告终；

这道题我一开始就是利用基底求解，但无法表示所要研究的两个向量，后来又建立直角坐标系，写点的坐标时又陷入困境，最终选择放弃；

……

对这类问题，我们应该怎样思考呢？鉴于此，我组织几位同学结合此次测验，围绕“如何思考平面向量问题”展开讨论与交流，旨在帮助同学们学会思考问题，当遇到困难时，学会寻找突破的策略．

生甲：如图1，在平面四边形ABCD中，AB=AD=1，∠BAD=120°，BC⊥AB，CD⊥AD，E是BC边上的一点，则·的取值范围为________．

这道题我整整花了20分钟也没有攻克下来，关键是怎样学会思考呢？

图1

生乙：如图2，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1．若点E为边CD上的动点，则的最小值为 （ ）

图2

教师：由已知条件，你们可以先求出哪些几何量？生甲先讲你的解题思路，在何处受阻．

生甲：发现△ACB与△ACD为全等三角形，从而推出∠CAB=∠CAD=60°，计算出．虽然设，所以|a|=|b|=1，，但与怎么才能用所设的基底向量表示呢？又换思路，改设显然有a·b=0，还是无法进行下去，该怎么思考呢？

教师：就前一个思路而言，是否可以用a与b表示呢？如果可以，那么就可以用表示，这样与都可以表示出来了．于是我们要考虑几何特征，要对进行平移，利用向量加法的几何意义，充分利用平面几何性质．

生丙：用平面几何方法可以做的，运算量蛮大的．如图3，作AF∥BC且AF=BC，所以四边形ABCF是矩形，延长CF交AD的延长线于点G，所以AF⊥CG．因为∠GAF=30°，∠CAF=∠ACB=30°，所以∠CAG=60°．又因为∠AGF=60°，所以△ACG为等边三角形，所以F是CG中点，所以GF=CF=AB，且GF∥AB，所以四边形ABFG为平行四边形，所以，所以设2b）（0≤λ≤1），所以（λ+1）a+2λb，=（λ+1）a+（2λ-1）b．所 以=［（λ+1）a+2λb］·［（λ+1）a+（2λ-1）b］=3λ2-，当λ=1时，有最大值3；当时有最小值，所以的取值范围是．

图3

众生：这种几何法要作这么多条辅助线，根本想不出来啊！

教师：生丙的思路清晰，结果正确！他的平面几何的知识很扎实！求解向量问题，一要考虑基底向量，二要考虑坐标表示．

生丁：一开始也是利用基底向量做，没搞出来，再换思路——建立直角坐标系求解．由对称性可知，B，D关于AC对称，设AC与BD相交于点O，AC=2，，OC=，现以O为原点，DB所在的直线为x轴，AC所在的直线为y轴，建立如图4所示的直角坐标系，所以，，BC方程为：．

图4

生乙：也可以以C点为原点，以AC所在直线为y轴，建立直角坐标系，如图5，所以，．设，下同生丁．

图5

生戊：以A为原点，AC所在直线为y轴，建立直角坐标系，如图6，所以A（0，0），，lBC：+2，设，，下同前文．

图6

教师：坐标法是很简单，三位同学都是抓住对称性，很快就写出了相关点的坐标，将几何问题转化为代数问题，最终也是转化为二次函数在指定闭区间上求解．

生甲：以D为原点，以DA所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，建立如图7所示的直角坐标系，所以D（0，0），A（1，0），，lBC：y=，设，0≤，下略．

图7

教师：很好！生甲利用垂直建立直角坐标系，也很快求解了，但比较而言，还是利用对称性较快．请看变题1：

在平面四边形ABCD中，AB=AD=1，∠BAD=120°，BC⊥AB，CD⊥AD，点E和点F分别是BC边和DC边上的点，求的取值范围．

图8

生丁：如图8，建立平面直角坐标系．因为所以EF∥BD，所以E，F关于y轴对称，设，所以又因为，所以，），因 此，，所以当时取最小值；当x=0时取最大值4，所以的取值范围为．

教师：正确！抓住EF∥BD，使得问题更加清晰，因此解题要先思考如何转化题目中的各种信息，如何挖掘隐含信息，这是解题的关键．请看变题2：

在平面四边形ABCD中，AB=AD=1，∠BAD=120°，BC⊥AB，CD⊥AD，点E和点F分别是BC边和DC边上的点，（0≤λ≤1），求的取值范围．

图9

生丙：如图9，建立平面直角坐标系，则因 为，所以所以，，所以λ+1，0≤λ≤1．所以当时，取最大值；当λ=0或1时，取最小值1，所以的取值范围为．

教师：很好！变题2相对复杂一点，生丙先利用线性运算，再利用坐标运算，求出的坐标表示．如果将E，F点放在同一条边上，又可以有变题3：

平面四边形ABCD中，AB=AD=1，∠BAD=120°，BC⊥AB，CD⊥AD，点M和点N都在边BC上，且，求的取值范围．

生甲：如图10，建立平面直角坐标系，设，，因此，再由已知条件得4（x1-．所以=4x1x2-（x1+x2）+4，接下去该怎么办呢？

图10

生乙：这里，同时由，化简为，再代入化简得，当x2=0时取得最大值为，当时取得最小值为1．

教师：答案正确，但过程上存在问题，你们发现吗？

生丙：不成立，而定义域为，由于二次函数图象的对称轴为关于直线对称，因此得出同样的结论．

教师：分析正确！一定要注意消元后的自变量的取值范围，也就是x1的范围交给x2控制了，所以x2的取值范围为．

生戊：将投影到水平方向和竖直方向，利用点M的坐标表示点N的坐标，设M（x，y），M在边BC上，且MN=，所 以，求 出于 是．所以当时取最大值；当时，取 最 小值1．所以的取值范围为．

教师：很好！他的解法就是减少自变量，其实也就是向量的正交分解．

生己：原题的基底向量法中，不需要做这么多的辅助线，抓住而a+b，因此，所以．（下略）

教师：太棒了！生己的向量加法的几何意义非常熟练，他抓住AC与AO的长度关系，挖掘题目的隐含条件，这样就大大减少了运算量．因此，在求解平面几何中的向量问题时，如果遇到困难，要注意思考以下问题：

1．题目所提供的信息都转化成数学符号语言了吗？这些信息之间的联系“桥梁”是什么？

2．哪些线段是我们要研究的？题目中的主要线段的位置关系如何？几何量之间有什么隐含关系？

3．我们利用什么策略求解？怎样选择基底向量？要研究的向量又如何线性表示呢？我们研究的平面图形是正三角形、直角三角形、矩形、正方形、菱形、筝形等，就要考虑能否建立坐标系解决呢．

4．本题还有其他解法吗？哪种方法最好？哪种方法是通性通法？

5．本题能否推广？能否改编呢？等等．

实战演练

1．如图11，在△ABC中，C=90°，且AC=BC=3，点M满足，则=_________．

图11

2．如图12，在等腰直角三角形ABO中，OA=OB=1，C为AB上靠近点A的四等分点，过点C作AB的垂线l，P为垂线上任一点，则=______．

图12

3．如图13，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，22，则的值是_________．

图13

答案与解析

1．解析 法一 如图14，建立平面直角坐标系．由题意知：A（3，0），B（0，3），设M（x，y），由，得解得

图14