合理选择参数，简化运算——以圆锥曲线问题为例

余建国

圆锥曲线因运动而精彩纷呈．在定性证明和求最值类问题中，选取什么参变量表示运动，通过代数运算得到定值或建立目标函数呢？这里不仅是计算问题，更是算法的优化问题．本文和同学们探讨如何选取参数，简化运算．请看下面问题：

例如图1，已知椭圆，点B，C分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线l：y=-2上的一个动点（与y轴交点除外），直线PC交椭圆于另一点M．

图1

（1）记直线BM，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值．

先解决问题（1）．

分析一根据“点P是直线l上的一个动点”，可以设P坐标为（m，-2），这样用m表示直线BM，BP的斜率，计算k1·k2为定值，即k1·k2的值与参数m无关．

证明一P坐标为（m，-2），则直线BP的斜率．

分析二事实上，我们也可以将问题表述为“M是椭圆上的一个动点（与B，C不重合），直线CM与l交于点P”．这样我们可以设点M（x0，y0），将它作为参数．

证明二设 点M（x0，y0），则，即．

分析三既然我们认为“主动点”为M，当然就可以选择直线BM的斜率为参数．

证明三直 线BM的 方 程 为y=k1x+1．

于是，直线PM，即MC的斜率为kMC=方程为

在直线PM的方程中令y=-2，得P（4k1，-2），于是直线PB的斜率k2=．

显然，我们也可以用直线PM，即PC的斜率kPC为参变量，一方面求点P的坐标，另一方面求点M的坐标，证明过程类似．

归纳总结在圆锥曲线定性证明中，不同的视角决定我们选取不同的参变量，通过代数运算，计算k1·k2的值，最终这个值中参变量被消去了，我们就实现了“定”的目的．比较而言，还是设点M的坐标的方法运算量较小，这里省去了联立直线与椭圆方程解交点的计算．同学们在平时的解题中是否有这种感觉呢？

解法一由（1）知，=（-m，3），，

令m2+4=t＞4，故．

解法二设点M（x0，y0）（x0≠0），

令t=y0+1，t∈（0，2），则以下略．

以斜率为参变量的方法留给同学们自己去解决．

解析几何的思想就是用代数的方法研究几何问题．如何表示平面上点或线的运动变化？点的变化用坐标描述，线的变化用斜率（旋转）或截距（平移）表示．在复杂的运动过程中，我们往往从“主动”开始，依次描述“从动”，就能将运动变化的过程表达清楚，定性证明、求最值类问题迎刃而解．正如我们只有抓住舞动彩练的棒子，彩练才能随心而动，舞出绚丽的色彩！