立足几何直观?促进数学课堂生命化

董秀英

摘 要：几何直观是数学核心素养之一。生命化的数学课堂必须立足于几何直观，才能促进思维的提升，深刻感悟数学思想与方法，从而促进生命化的数学课堂充分体现学生学习的自主性。

关键词：几何直观 数学课堂 生命化 核心素养

“生命化课堂”顾名思义，就是把课堂还给学生，让课堂焕发生命活力，充分体现学生学习的自主性。《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确提出：几何直观是十个数学核心素养之一。所谓几何直观主要是指利用图形描述几何或其他数学问题分析、探索解决问题的思路，预测结果。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，更好地促进学生对数学的理解。这对于以形象思维为主的小学生来说显得尤为重要。几何直观在整个数学学习过程中发挥着“帮助学生理解数学，化抽象为具体，培养学生的思维能力”等重要作用，从而促进学生主动思考，自主探索，构建生命化课堂。下面笔者将结合自身的教学实践经验浅谈如何使几何直观在小学数学教学中得以有效应用，促进数学课堂生命化，从而实现对学生数学核心素养的培养。[1]

一、借几何直观明晰算理，助问题分析，促数学课堂生命化

几何直观是指利用图形来描述和分析问题。借助几何图形能够帮助学生更加直观地理解算理，还能够帮助学生自主发现、描述所要研究的问题，寻求解决问题的思路。“图形化”的过程就是将抽象的算法或繁杂的问题直观化。所以，借助“形”的几何直观性可以更好地分析理解数与数之间或数量之间的关系。[2]

例如，教学人教版六年级上册《分数乘分数》一课中的 × 的计算法则及算理教学。如图一，教师可以引导学生借助一张长方形纸先在长方形纸中表示出一小时粉刷墙壁面的 ，然后让学生通过观察思考：怎样表示出 小时粉刷墙壁面的几分之几？如图二，学生通过动手画图，自主探索交流，直观地理解了 × 的意义，就是把这张纸先平均分成5份，其中的1份即 ，再将涂出的 部分再平均分成4份，这样一共平均分成20份，再涂出其中的1份就是这张长方形纸的 。学生借助几何图形的直观性，在理解了 × 的实际意义的同时也很轻松、自主地掌握了分数乘分数的计算方法及算理，即将分母相乘的积作为分母，（也就是先把1平均分成5份，再把分得的每一份平均分成4份，这样一共20份，就是分母），将分子乘分子的积作为分子，（即表示其中的一份）。笔者认为教学中教师可以充分利用几何图形直观，帮助学生理解加减乘除法的意义、算理及方法。

又如，教学“公园里种了150棵柏树，种的杨树的棵树比柏树多54棵，种的柳树的棵数比杨树多23棵。公园里柳树的棵数比柏树的棵数多多少棵？”的问题解决，这里的数量关系相对于三年级的学生来说较为抽象及复杂，这个年龄段的孩子思维水平大多数只停留在理解“一个数比另一个数多（或少）几，求一个数或求另一个数”的层面，而对于上面这道题数量关系的抽象性具体体现如下：首先题目中是三个数量（分别是柏树、杨树和柳树）之间的相互比较（关系比较复杂），其次，题目中只给定三种树的总棵数（数量不明确），再次，比较的标准量不同（第一个比较的标准量是柏树的棵数，第二个比较的标准量是杨树的棵数，导致学生的思维产生混乱），最后，提出的问题是求两种树的棵数的相差量。这道题单从字面上去理解题目的数量关系使问题得以解决，学生会感到抽象，难以理解题意。此时，教师可以借助画线段图来表示题目中的关键信息，如图三，学生有了线段图的直观支撑，对题意的理解便一目了然，要求柳树的棵数比柏树的棵数多多少棵？从线段图中一眼就能确定两次的比较都要以柏树的棵数为比较的标准量，求柳树的棵数比柏树的棵数多多少棵？也就是求杨树的棵数比柏树多的棵数与柳树的棵数比杨树多的棵数的和。教学中因为有了直观的几何图作为形象支撑，学生的思维被充分的激发，在自主探索与合作交流中思维不断完善，思考的主动意识不断增强，问题解决的数学模型得以初步构建，最后在获得成功中体验到问题解决的喜悦，从而让数学课堂充满生命活力。

二、借几何直观发现规律，助抽象推理，促数学课堂生命化

数学的规律时常需要通过借助几何图形直观地支撑，经过严谨地推理，使学生迅速地发现其中隐含着的规律。教学中可以把几何图形与数量相结合帮助学生更形象直观地发现规律，使复杂的问题简单化，再利用规律解决复杂的问题，从而使学生的抽象推理能力得以进一步提升。[3]

例如，教学“数学思考”中的一道题。课一开始，教师出示问题：20个点能连成多少条线段？并让学生独立思考大胆猜测。经过交流讨论发现：要想研究20个点能连成多少条线段？可以先截取5个点通过学生自主探索，动手连一连，自主探究能连成几条线段？（渗透化繁为简及有序思考的数学思想方法）。学生经历独立思考，自主动手：画一画、数一数、算一算，在与小组合作交流中发现其中的规律并板书：2点： 如图一，1条（A与B连1条； 3点：如图二，2+1=3条；（A要与另外两点B、C连两条，B要与C再连1条）；4点：如图三，3+2+1=6条；（A要与自己除外的3点B、C、D连3条，B要与自己和A除外的兩点C、D连2条，C与D连1条）；5点：如图四，4+3+2+1=10条；（A与自己除外的4个点B、C、D、E连4条，B与自己和A除外的3点C、D、E连3条，C与自己和A、B除外的D、E两点连2条，D与自己和A、B、C除外的E连1条）。学生借助几何图形的形象直观，经历有序思考，取数量少的一组点数为研究对象，从中发现隐藏在几何图形中的规律，从而实现化繁为简的转化数学思想方法的有效渗透。根据以上的规律，20个点连成线段的问题就可以从比总点数少1的数字19开始倒加到数字1，再求和。算式：19+18+17+……+3+2+1，最后，可以运用等差数列求和的方法求出结果。进而总结计算n个点连成的线段总条数通用模型：（n-1）+（n-2）+（n-3）+……+3+2+1 ，将几何图形与代数相结合有助于学生直观形象地发现规律，化抽象为具体，使学生的抽象推理能力得以进一步提升。

再如，教学 + + +……+ + =？ 教师可以引导学生从简单的 + 入手，借助图形 如图（五），引导学生认真观察发现： + 可以看成从正方形“1”中减去空白部分的 ，同理可得 + + 可以看成把剩下的 再平均分成两份，这样共分成8份，其中的一份是 ，如图（六），因此， + + 可以看成从正方形“1”中减去 ，那么 + + + =？如图（七），可以看成从正方形“1”中减去 ，以此类推， + + +……+ + =？可以看成从“1”中减去 ，结果就转化为“1- ”。因此，这样复杂的分数加法计算题，若离开几何直观图形的支撑，是很难想象出只要用“1- ”就能很简便地算出结果，再一次体现复杂问题简单化。

学生经历化繁为简、化抽象为具体直观的知识形成过程，归纳概括出规律，抽象推理能力得以提升，思维能力得以进一步拓展，数学模型思想初步形成，促进数学课堂焕发生命活力，学生的核心素养得以进一步提升。

三、借几何直观感悟极限，助模型构建，促数学课堂生命化

所谓极限思想就是用联系变化的观点，无限逼近的方式来研究数量的变化趋势的思想。极限思想的渗透需要通过无限观念的建立和极限思想的感悟等两个层面来实现，然而这两层面的有效落实都与学生想象能力的培养密不可分。合理地想象必须借助几何直观地支撑，这样才能建立学生的无限观念，促使学生真正感悟到极限思想。

例如，教学 + + + + + ……的计算结果时，若用常规的思维方法解决，是无法得出结果的，因此教学时只能另辟蹊径，借助正方形的几何直观图，将这些分数与几何图形建立联结，通过想象，感悟极限思想，从而使问题得以解决。如图一：假设大正方形的面积为1，一半就是 ，余下的一半就是 ，余下的余下的一半就是 ，……从图中非常直观地看出：随着加数的不断增加，空白部分的面积就逐渐变大，阴影部分的面积就不断趋于零，空白部分的面积就会越来越接近正方形的面积，通过让学生无限地想象，其结果就会无限地逼近1。这样无限多项的数相加，其结果就会变为1。

再如，教学“圆的面积”一课，教师可以组织引导学生将圆切割等分成若干（偶数）个扇形，分得越多就越接近等腰三角形，直到拼成的图形近似于长方形，学生可以通过观察所拼成的近似长方形的几何图形，通过无限想象，把圆等分成8份、16份、32份、64份……，一直不断地这样分下去，分成的份数越多，拼成的几何图形就越趋于长方形。如图二：这样学生自主探究关于圆的面积计算公式的推导就水到渠成，以上的教学方法主要是借助几何直观图——近似的长方形，引导学生采用“变曲为直”、“化圆为方”的转化法，让学生经历从无限到极限的过程，感悟极限思想，进一步提升学生的数学核心素养，从而促使数学课堂焕发生命活力

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一节成功的数学课的衡量标准要看学生通过这节课的学习是否能够用数学观点、数学思维方式和数学方法来观察、猜想、实验、验证、归纳、推理、分析及解决问题等，这些都是小学数学核心素养的具体体现。借助几何直观，帮助学生理解题意，分析问题，发现规律，進行抽象推理，提升思维能力，从而深刻感悟数学思想，让学生主动经历知识的形成过程，促进数学课堂跳跃出如同生命般，充满生机的思维火花，进而促使学生数学核心素养得到培养。

参考文献

[1]林碧珍.数学思维养成课——小学数学这样教（福建教育出版社）.

[2]邱月华.基础教育研究：巧用几何直观促进有效建模.（福建基础教育研究.2018.3）

[3]朱伟森.让“问题解决”真正发生.小学数学教育2017.4.