一题多解，感悟“函数零点”

张琪

函数f（x）的零点即是方程f（x）＝0的实数根.从方程到函数，表面看仅是改变了概念的形式，但它却为我们的研究方程根的问题打开了大的空间。“利用函数的性质讨论方程和不等式，从而使原来无法解决的问题转化为可解了，而且体现了数学的整体性，体现了“用联系的观点看待问题”、“用新观点看待旧事物”、“用动态变化的观点看待静态确定的事物”等思想”［1］.因此我们在函数零点教学中，让学生弄清零点本质，引导学生有意识地运用函数知识对零点问题进行分析。

典例.已知函数f（x）＝x3－3x2+ax+2，曲线y＝f（x）在点（0，2）处的切线与x轴交点的横坐标为－2.

（1）略.（2）证明：当k＜1时，曲线y＝f（x）与直线y＝kx－2只有一个交点.

函数y＝f（x）的零点⇔方程f（x）＝0的根⇔函数y＝f（x）图像与x轴交点的横坐标。该句话为我们提供了解决函数零点问题的三种角度：角度一.函数转化为方程，通过解方程求出函数的零点；角度二.数形转化，通过研究函数图像，利用零点存在性定理来研究问题；角度三.将函数变形，将函数零点转化为两个函数图像的交点问题。该题可以从角度二和角度三来探究问题：

法1：构造函数g（x）＝f（x）－kx+2＝x3－3x2+（1－k）x+4，由g（－1）＝k－1＜0g（－1）＝k－1＜0且g（0）＝4，可知函数g（x）在（0，1）存在零点，求导得：g＇（x）＝3x2－6x+1－k

当Δ≤0即k≤－2，易知函数g（x）有唯一的零点。

当Δ＞0即－2＜k＜1，此时方程g′（x）＝0有两个相异实根x1，x2，由图像可知：若函数g（x）只有一个零点，满足，消去k可得：g（x2）＝+4求导可知，g（x2）min＝min｛g（0），g（2）｝，因为g（0）＝4，g（2）＝0，所以g（x2）＞0，故函数g（x）只有一个零点，命题可证。

点评：此法由零点存在性定理，函数g（x）在（－1，0）上有一零点，结合函数的图像性质来研究其他范围的情形。此法的难点在于求不出具体的极值点值，需要设极值点，通过消参，构造函数来实现解题。.

法2：对解法1稍加改造得到更为简便的作法：易知函数g（x）在（0，1）存在零点，利用条件可知：当1－k＞0，在x≤0时，g′（x）＝3x2－6x+1－k＞0，g（x）单调递增，则函数g（x）在（－∞，0］有唯一零点.故仅需证明当x＞0时，函数g（x）无零点。设h（x）＝x3－3x2+4.求导可知：在x∈（0，+∞）时，h（x）≥0。由g（x）＝x3－3x2+（1－k）x+4＞h（x），故g（x）≥0恒成立，由此命题可证。

点评：此法技巧较强，通常做法是解法1是对参数k进行讨论，而该法为什么对变量x进行讨论？如果我们在解题时候能明确方向即证明：在x∈（0，+∞）时，函数g（x）无零点。紧扣k＜1，便不难想到构造函数h（x）.

法3（分离常数法）：x3－3x2+x+2＝kx－2，显然x＝0不是该方程的解，，转化为证明直线y＝k与曲线y＝x2－3x+1+只有一个交点。设u（x）＝x2－3x+1+（x≠0），画出u（x）的图像，不难发现当k＜1，直线y＝k与曲线y＝x2－3x+1+只有一个交点，由此命题可证。

法4：可知直线y＝kx－2与曲线y＝f（x）相切时，两图像有仅有一个交点。设切点P（x0，y0），由f′（x0）＝，可得-4＝0，解得：x0＝2，斜率k＝1，因此k＜1时，命题得证。

点评：上面解法3和解法4异曲同工，函数的零点个数问题可以应用分离法转化为两个函数图像的交点问题来进行处理，此法形象直观，是选择填空的解题利器.但此法对图像的精细化要求较高，需要综合运用函数与导数等知识.

配套练习：已知函数f（x）＝ax3－3x2+1，若P存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是________。答案为（－∞，－2）。参考答案如下：

法1：显然a≠0，利用导数结合三次函数f（x）的图像特征，可得当a＞0时，f（x）有小于零的零点，不符合题意.当a＜0时，要使f（x）有唯一的零点x0，且x0＞0，只要极小值f）＞0，即a2＞4，所以a＜-2.

法3：依题意a≠0，f（x）存在唯一的正零点等价于两函数ax2＝3x－或者ax＝3－图像在（0，+∞）时仅有一个交点，后研究两曲线的相切问题。

单墫老师认为：“有规律、便于推广的解法才是好的解法，因为它揭示了问题的本质”。我们的教学要让学生理解问题的本质，摸透解题的规律.函数零点问题的解题方式归纳如下：零点问题的解决其往往需要同时涉及到函数、方程、不等式的相关知识，需要在这三者中不断进行化归转化。当待求目标难以直接实现时，可借助函数零点的等价条件来迂回实现.其中判断零点问题最常用的方法就是通过构造函数。若直接求解零点问题十分困难，需要转化为两个函数图象交点问题进行判定。解题途径主要是下面三种：（1）构造函数，利用零点存在性定理研究问题；（2）完全分离，利用函数图像最值研究问题；（3）不完全分离，利用曲线相切研究问题。

当然以上途径，各有利弊，须由题设的特征来合理选择，但无论选择何种方法，均需在求解过程中，抓住“数中有形，形中有数”这一基本函数思想，通过寻找临界，来破解函数零点问题。