谈古代数学文化与现代数学的优美结合

☉河南省焦作市职业技术学校 刘艳群

2017年新课标高考考纲明确指出：增加考查我国古代数学文化与现代高考的优美结合.显然，考纲这样处理，有利于拓宽考生的知识面，凸显古代数学文化的辉煌成果；有利于考查考生的阅读理解能力和应用能力；有利于培养考生的创新精神，提高考生的数学素养.基于此，请赏析以下有关我国古代数学文化与现代数学的优美结合题.

类型一、我国古代数学文化与数列的优美结合

1.与等差数列优美结合

例1 在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？（ ）.

A.9日 B.8日 C.16日 D.12日

解析：由题意知，良马每日行的距离构成等差数列，记为{an}，其首项a1=103，公差d=13；驽马每日行的距离也构成等差数列，记为{bn}，其首项b1=97，公差d′=-0.5.

设两马经过m日相逢，则依据题意可得：

评注：本题需要先读懂简单的古文知识，将具体的实际问题转化为熟悉的等差数列问题；然后借助等差数列的求和公式加以求解.

2.与等比数列优美结合

例2《九章算术》是我国古代的数学名著，其中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织了5尺布，问：该女子每天分别织布多少？”据此分析，若织布的总尺数大于或等于30尺，则该女子至少需要（ ）天.

解析：设该女子第一天织布x尺，则根据题意可得≥30，得2n≥187，故n的最小值为8.故选B.

评注：对于本题，需要先读懂题意，将具体的实际问题转化为熟悉的等比数列问题；然后借助等比数列的求和公式灵活处理.

3.以数表为载体，与多个等差数列优美结合

例3 下面的数表为“森德拉姆筛”（森德拉姆，东印度学者），其特点是每行每列都成等差数列.

2 3 4 5 6 7 …3 5 7 9 11 13 …4 7 10 13 16 19 …5 9 13 17 21 25 …6 11 16 21 26 31 …7 13 19 25 31 37 ……………………

在上表中，101出现的次数为______.

解析：记第i行第j列的数为aij，那么每一组i与j的解就对应表中的一个数.

因为第1行的数组成的数列{a1j}（j=1，2，3，…）是以2为首项，1为公差的等差数列，所以a1j=2+（j-1）×1=j+1；

又第j列数组成的数列{aij}（i=1，2，3，…）是以j+1为首项，j为公差的等差数列，所以aij=j+1+（i-1）×j=ij+1.

令aij=101，则ij=100=1×100=2×50=4×25=5×20=10×10=20×5=25×4=50×2=100×1.

注意到因式1×100，可理解为101出现在数表的第1行第101列的位置，其他因式类似理解.

故101出现的次数为9.

评注：求解本题的关键点有两个，一是两次灵活运用等差数列的通项公式准确求得aij=ij+1；二是对数字100进行因式分解，要考虑全面.

类型二、我国古代数学文化与立体几何的优美结合

图1

1.与割补法求体积优美结合

例4 我国古代数学名著《九章算术》卷五“商功”有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈.问积几何？”如图1，可将其意思翻译为：今有底面为矩形的屋脊形状的多面体，其中AD=3丈，AB=4丈，EF=2丈，无宽，直线EF∥平面ABCD，且直线EF与平面ABCD的距离为1丈，那么该多面体的体积是多少？经计算，所求体积为（ ）.

A.4立方丈 B.5立方丈

C.6立方丈 D.8立方丈

解析：如图1所示，过点E作底面ABCD的垂面EGH分别交AB，DC于点G，H，过点F作底面ABCD的垂面FMN分别交AB，DC于点M，N，则该多面体被分割为两个全等的四棱锥E-DAGH，F-NMBC和一个直三棱柱EGH-FMN.

故该多面体的体积为1+1+3=5（立方丈）.故选B.

评注：结合图形，理清题意之后，求解的关键点在于通过作截面，将所给的多面体分割成两个四棱锥和一个直三棱柱，有利于借助“割补法”巧求体积.

图2

2.与特殊的几何体优美结合

例5 我国古代数学名著《九章算术》中记载了有关特殊几何体的定义：阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥；鳖臑指四个面均为直角三角形的四面体；堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图2，在堑堵ABC-A1B1C1中，AC⊥BC.

若A1A=AB=2，当阳马B-A1ACC1的体积最大时：

①求堑堵ABC-A1B1C1的体积；

②求点C到平面A1BC1的距离；

③求二面角C-A1B-C1的余弦值.

图3

评注：本题易错点：不能准确理解新名词（堑堵、阳马、鳖臑）的具体含义；不能将立体几何中的有关概念、判定定理、性质定理及锥体的体积公式加以灵活运用.

综上，求解此类问题时，需要先读懂题意（很有必要熟悉简单古文的翻译），再灵活运用所学数学知识灵活处理.W