高中学生数学学习“错误”的再认识

☉宁夏银川市第二中学 邱旭琴

学生学习中的“错误”既然在所难免，教师也只有好好探索处理这些“错误”的方法并将其变“废”为“宝”了，将学生的“错误”视作宝贵的教学资源并好好运用，能够使学生在“错误”中获得新的领悟并最终形成正确、清晰而深刻的认知.“错题本”在高中学生的数学学习中是最常用的一种形式，学生的查漏补缺与走出思维误区往往会在“错题本”的有效利用中获得良好的效果.笔者根据学生在学习中的实际表现进行了处理“错误资源”的思考与探索，在处理手段和方法上有了一些体会并将其形成于文.

一、从教师的“错误”上激发学生数学学习的动力

“人无完人”这一古语为大家所熟知，教师在教学中出现错误也在所难免，有经验的教师在教学设计中往往会根据学生常见的错误特意犯错，或者故意将学生容易疏漏的知识点设计到自己的教学设计中，在课堂教学中引导学生发现这些错误并提出质疑，这种“借题发挥”的方式往往能够更好地引导学生进行科学的探究，使学生在探究正解的过程中充满热情与动力并逐渐获得成功的愉悦体验，数学学习的自信也就逐步建立了.

例如，教师在“函数与不等式”相关知识的复习教学中就可以故意设置“破绽”，并给学生机会来发现这些“破绽”，从而有效地促进学生学习的动力，使学生在逐步增强学习自信的过程中越来越投入地进行数学学习.具体教学片段如下：

案例1：已知当x≥0时，函数f（x）=x2+1，当x＜0时，函数f（x）=1，若不等式f（1-x2）＞f（2x）成立，则x的取值范围如何？

图1

学生感觉教师的这一解法比较顺理成章，因而没有意见产生，此时教师可以运用一系列问题来启发学生进行再思考.

师：一道题得解之后还应该做些什么呢？

生：应该回头检查所得结论是否符合要求.

生1：刚才的解题过程好像有问题，x=-2并不能令（f1-x2）＞（f2x）成立啊！

教师：很好，生1联想到了特殊值检验法，并对我们刚才的解题过程进行了回顾，那么大家认为出错的地方在哪儿呢？

生2：函数（fx）的图像在区间（-∞，0）上是平行于x轴的线，在区间［0，+∞）上是上升曲线；函数（fx）在R上不会单调递增，与（f1-x2）＞（f2x）等价的是1-x2＞2x且1-x2＞0，即-1＜x＜-1+.

生1对于教师解题上的质疑是学习自信、勇于挑战权威的表现，能够打破教师权威这一定式思想的重要表现对于学生在数学概念的理解上具有重要的意义，不仅如此，学生还会在提升质疑能力的同时产生对数学学习的积极情绪.

解析：如图1，由题意作函数f（x）的图像，根据函数单调递增的性质将f（1-x2）＞f（2x）转变成1-x2＞2x，即-1-

二、借助学生的“错误”引导学生自主发现

很多有经验的教师在教学中特别注重学生知识学习的“生长点”，事实上，这是值得所有教师重视、珍惜和利用的宝贵资源.学生在实际学习中往往会对同一数学知识或问题形成不同的理解和观点，其中不乏有些“荒谬”的想法，数学教师在面对学生的不同观点时应做到“大肚能容”，允许学生犯错并借助学生的这些“错误”引导学生自主发现，使学生在积极发现、思考、交流、争论中实现共同纠错，并最终对数学问题有深刻的认知和理解，数学教师所期待的举一反三、触类旁通往往也会在这一过程中实现，学生认知上的不足往往会因此得到有效弥补，学习能力的提升自然不再是空谈.

例如，以下是一道高一的函数问题，笔者在讲评此题时故意将学生的错误进行了“暴露”，这一做法旨在引导学生自主发现和认识，事实上，学生在激烈的思辨中确实获得了更多更好的体验与认知，具体教学片段如下：

师：大家觉得这一解法是否正确？

生1：这个解法跟我答卷时的解法差不多，我感觉没有错，但我的解题被扣了3分，应该是有问题的吧.

生3：对，有漏洞，应该补充说明x=0也是方程（fx）=x的唯一解（a≠0，b=1，Δ=0，ax+b≠0），这样才完全正确.

师：综合大家的发言，该题是不是完全解决且没有问题了呢？

生4：由（fx）=x有唯一解可得Δ=（b-1）2=0的结论并不唯一，还有一种可能Δ=（b-1）2＞0（b≠1），则方程ax2+（b-1）x=0（a≠0）的两个根为x=1（实根），x=0（增根），则2ax+b=b=0.

引导学生自主发现错误并因此对问题展开新的审视往往能够促进学生对数学问题的深层次理解，学生在深层次理解问题的过程中也会更好地提升自身的能力，并从“错误”中得到更多的启发，学生也会因此积累更加丰富的解题经验.不仅如此，教师根据学生的“错误”所作出的针对性教学也能更好地改进其教学的手段和方法，在对学生所作出的科学引导和剖析给学生带来深入思考和感悟的同时，教师与学生在针对性的教与学中均获得了自身成长.

三、挖掘学生的“错误”根源并追溯教学的薄弱点

很多教师在某个章节的教学结束之后往往会询问学生是否都已掌握，学生在教师的这一问题下往往会选择肯定的答案，其中的原因自然是多种多样的，教师面对学生的肯定态度之时往往也不会深究学生在学习中存在的问题，教师的这一疏忽自然会令一些学生在具体解题时犯错，事实上，教师的这一忽视正是其实际教学中存在的薄弱点.学生因为对概念理解的浅薄、对知识的负迁移、不良习惯及过分依赖直觉思维等多种因素会在解题中出错，教师在实际教学中应对学生的错误进行分析，引导学生积极结合直觉思维、发散思维、合情推理与逻辑对实际问题进行分析，学生思维的严谨性往往会在教师的有意培养中得以提升.例如，学生经常出现的计算错误这些往往都是思维习惯或负迁移导致的错误，教师在实际教学中应结合具体案例进行纠正，一带而过的教学往往无法令学生的知识负迁移及思维习惯得到改善.

还有的学生会在不等价变形与推理中产生解题错误，教师在这些纠错教学中应结合具体的案例进行辨析，将自己教学中可能存在的缺陷和不足进行反复的思考并令学生获得真正且深刻的认知和理解.例如，零点判定问题中，函数（fx）在［a，b］上有零点的充分条件为（fa）·（fb）＜0；若（fa）·（fb）＜0不成立，也不能说明（fx）在［a，b］内没有零点.导数性质中，函数（fx）单调递增的充分条件为f（′x）＞0，函数（fx）存在极值的必要条件为f（′x）=0.运用反例进行实际教学的案例比较少见，很多教师也将这些知识点留到复习教学中重点讲解，这种教学方式往往会导致“夹生饭”的形成.

由此可见，解题中的有些错误并不能完全归咎于学生本身，教师在实际教学中的设计与落实也往往会存在问题，因此，教师在实际教学中应能客观分析学生错误的根源并进行教学手段与方式的调整与改进，使学生能够更好地理解数学知识和规律，这种反思教学欠缺的行为对教学质量和效益的提升来说具有积极的意义.

总之，学生在数学学习中出错是非常普遍的，教师在实际教学过程中应充分重视“错误”资源的价值并对其进行有效研究，在帮助学生纠错、提升的同时反思教学上的缺陷，思考教学方法与策略的改进，并因此促成教师与学生在教与学中的共同进步.W