基于数学学科核心素养下的数列教学研究

☉江苏省张家港市塘桥高级中学 汤 鸿

数列，作为高中数学的核心内容之一，一直是高考命题的热点，高考数列考什么的话题已成“老生常谈”.当下，在我们排除应试教育干扰的情况下，从数学学科核心素养角度重新审视数列教学，我们应该教会学生什么呢？我们知道，数学学科核心素养主要包含数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象和数据分析等六个方面.［1］那么，在数列教学中，我们该如何让教学内容处处体现数学学科核心素养呢？笔者谈几点拙见，供同仁参考.

一、教会学生从函数的角度看数列

任何一个数学观念的产生都有它的前因后果.数列诞生于函数，又不同于普通的函数.因此教会学生从函数角度看数列就包含了对学生数学抽象、逻辑推理和数据分析等能力的培养.

数列虽然可以看作一类特殊的函数，但它有着自身独特的解决问题的方法，什么事情都是一分为二的，如果我们教学生一遇到数列问题，就想到用函数方法求解，这就有失偏颇了，只抓矛盾的普遍性而忽视了矛盾的特殊性，这是数列教学中极易走入的误区.因此我们应该让学生知道，数列是函数，但不可认为数列就是函数，不可将数列与函数等同起来.［2］

例1 已知数列{an}.

（1）若an=n2-5n+4，则：①数列中有多少项是负数？②n为何值时，an有最小值？并求出最小值.

（2）若an=n2＋kn＋4，且对于n∈N*，都有an+1＞an成立，求实数k的取值范围.

分析：（1）本题虽然是数列问题，但其实是求二次函数的最小值问题，与二次函数不同的是，这里的自变量n是正整数.（2）数列是一类特殊的函数，本题的通项公式可以看作相应的解析式f（n）=n2+kn+4，f（n）在其定义域上单调递增，但自变量不连续.因此我们可以从二次函数的对称轴研究其单调性.我们也可以利用an+1＞an恒成立，即转化为不等式恒成立问题.

点评：（1）当数列的通项公式可以看作一个定义在N*上的二次函数时，通常可以利用二次函数的对称轴研究其单调性，从而得到实数k的取值范围，使问题圆满解决.

（2）在运用二次函数的观点解决数列问题时，一定要注意二次函数所对应的抛物线的对称轴的位置.

本题是一个数列问题，却用函数的思想加以解决.同时，体现出了数列是一类特殊的函数.

二、教会学生用联系的观点看数列

万事万物都存在着联系，用联系的观点看问题，有助于我们把握数列的本质，从而更好地培养学生的数学素养.数列与函数的联系，等差数列与等比数列的联系，以及数列解题方法之间的联系，都是数列教学的好素材.

用联系的观点分析问题与解决问题，有利于学生形成科学的世界观，有利于学生更好地把握数列的内涵，从而不断提高学生的数学学科核心素养.

（1）求数列{an}的通项公式；

解析：本题是等差数列与等比数列的综合性问题，如何解决此类问题？需通过知识与方法的“双重”联系才能解决.知识层面上的联系，是等差数列与等比数列的联系，方法层面上的联系，是数列{Tn}最值与数列单调性的联系.

点评：解答本题，处处体现了联系的观点和数学学科核心素养.从原问题中抽象出等比数列模型，又与数列的单调性联系，求出数列{Tn}最大项的值与最小项的值，而对奇偶数的分析与最值的运算，体现了数据分析和数学运算这两个最基本的数学素养.

数列是什么？数列是一列按一定次序排列的数，这是数列的本质.研究数列，其实就是揭示数列中各项之间的内在联系和不同数列之间的内在联系.当我们用联系的观点去审视数列问题时，思维就会被打开.不难发现，数列求和中的错位相减法与等比数列求和公式的推导，有着惊人相似的一幕，而数列求和的倒序相加法，正是启发于等差数列求和公式的推导.因此，教会学生用联系的观点看数列，切实可行，也十分有效.

三、教会学生用数列的眼光看世界

教会学生用数列的眼光看世界，既体现了数学学科核心素养中数学抽象与数学建模的要求，同时体现了数列教学的落脚点，用数学知识解决实际问题，也是新课标的教学目的.于此同时，教师也可以将数列中的数学文化渗透其中，让学生感受到数列知识的博大精深与数列历史的源远流长.

于此同时，在数列教学中，我们要时刻关心身边的客观世界，引导学生去发现问题、分析问题，并用数列的观点与方法去解决问题.

例3 张家港市2017年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车牌照2万张.为了节能减排和控制总量，从2017年开始，每年电动型汽车牌照的发放量按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每年发放的电动型汽车牌照的数量维持在这一年的水平不变.

（1）记2017年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{an}，每年发放的电动型汽车牌照数构成数列{bn}，完成表1，并写出这两个数列的通项公式；

表1

（2）若从2017年算起，你能算出二十年发放的汽车牌照总量吗？

解析 ：（1）

表2

所以从2017年算起，二十年发放的汽车牌照总量为229.25万张.

点评：现实生活中数列问题的模型极为广泛，如物群的生长和消亡，人们生活中的收入与支出等.解决此类问题的途径有两种：一是列举前几项，寻求规律，满足某种数列；二是寻求任意前后两项间的关系式，转化为递推式问题.这些都是数列教学的好素材.

用数列的眼光看世界，也是学生研究性学习的好素材，是数列教学中值得做大做强的一篇好文章.

新的时代呼唤新的教育，新的教育呼唤核心素养.教师应解放思想，摆脱应试教育的束缚，让核心素养观渗透到每一节数学课中去.或许我们会少做几个难题，或许阶段性测试会暂时落后，但我们收获的是学生思维的可持续发展.