数学文化之中国古代对等差数列的研究

张国林 邵书静

中国古代数学家对数列知识早有研究，如《周髀算经》《九章算术》《孙子算经》《张邱建算经》等书中，都记载了许多有趣的数列问题.本文选取几个古老的数列问题，编写介绍如下，供同学们研究思考.

例1 今有金棰，长五尺.斩本一尺，重四斤.斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？（选自《九章算术》）

【译文】今有一锥状金鞭，全长5尺，截根部1尺，重4斤，截顶部1尺，重2斤.由末到本一尺一尺截取，依次各重多少？

【解析】由题可知，由末到本，每尺的重量成等差数列.设首项a1=2，末项a5=4，项数n=5，设公差为d.由an=a1+（n-1）d.解得d=12.所以，a2=212，a3=3，a4=312.

故顶部1尺重2斤，下1尺重2斤8两，再下1尺重3斤，再下1尺重3斤8两，根部1尺重4斤.

值得注意的是，魏晋时代的大数学家刘徽在其注中说：“令本末相减，余，即四差之凡数也.”这就是an=a1=（n-1）d.这在中国数学史上是一个很大的创造.

例2 今有女不善织，日减功迟.初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫，问织几何？（选自《张丘建算经》）

【译文】今有女子不善织布，每天织布以同数递减，开始每天织5尺，最后一天织1尺，共织布30天，问共织布多少？

此题是等差数列求和问题.张丘建的解法为：“并初末日织尺数，半之，余以乘织讫日数，即得.”即为Sn=n（a1+an）2.这与高斯算法有异曲同工之妙，而张丘建比高斯早了近1500年！这充分说明古代中国在数学方面的研究起步早，挖掘深，研究广.

例3 今有良马与驽马发长安，至齐.齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增十三里.驽马初日行九十七里，日减半里.良马先至齐，复还迎驽马.问几何日相逢及各行几何？（选自《九章算术》）

【译文】有良马和劣马各一匹，都从长安出发到齐，两地相距3000里.良马第一日走193里，以后每天比前一天加速13里，劣马第一天走97里，以后每天比前天减速12里.良马先到齐后，立刻返回迎接劣马，问良马和劣马几天相遇，各走了多少里？

【解析】由题知，良马与劣马每日的行程均成等差数列.设良马第一日的行程为a1=193里，公差为d1=13里;劣马第一日的行程为b1=97里，公差为d2=-0.5里.利用公式Sn=na1+n（n-1）d2（劉徽在注解中已经指明了这个公式）求良马和劣马的行程.

良马15日行程：15×193+15×（15-1）×132=4260（里）;劣马15日行程：15×97+15×（15-1）×（-0.5）2=1402.5（里）.不足：6000-4260-1402.5=337.5（里）.

良马16日行程：16×193+16×（16-1）×132=4648（里）;劣马16日行程：16×97+16×（16-1）×（-0.5）2=1492（里）.盈余：4648+1492-6000=140（里）.现只需求15日后两马相遇的时间即可，这时，两马的距离是337.5里，用等差数列通项公式an=a1+（n-1）d，可求：良马第16日的速度是193+15×13=388（里∕日），劣马第16日的速度是97+15×（-0.5）=89.5（里∕日）.二马的速度和是388+89.5=477.5（里∕日）.故二马在第16日相遇的时间337.5477.5=135191日，总计，二马相遇时间为15135191日;良马行程为：4260+388×135191=453446191里;劣马的行程：1402.5+89.5×135191=1465145191里.

总之，中国古代数学家对等差数列做过广泛、深入的研究，适当地给学生介绍一些数学文化知识，也符合新课程的教育理念，能有效激发学生的学习热情.

注：本文系2019年度河南省基础教育教学研究项目《数学文化在高中课堂教学中的渗透案例研究》（JCJYC19030548）研究成果.