不用法向量求解二面角——以2018年高考题为例

☉上海市七宝中学 汤华翔

求解二面角对学生的空间想象能力要求较高，是培养学生逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养的理想内容，故而在全国和各省市近年高考中屡屡出现涉及二面角的考题.

传统的综合法求二面角是过棱上一点，在两个半平面内作棱的垂线，再通过解三角形将两条射线的夹角求出，此法相对来说比较难；教材上介绍的向量法是利用法向量的夹角为二面角的平面角或其补角，再根据图形判断是锐角还是钝角.此法对于复杂图形来说难度较大.本文给出不依赖于求两个半平面的法向量求二面角的新方法，且计算量也不大.希望本文的新方法能给师生以新的灵感和启发.

图1

一、求解二面角的新方法

如图1，A，C分别是二面角α-l-β的棱l上两点，点B，D分别在半平面α，β内，且AB⊥l，CD⊥l，则所成的角就是二面角的平面角.

即在棱上取两点（也可重合），以这两点为起点分别在两个半平面内作与棱垂直的向量，或分别过两个半平面内的点（作为所作向量的起点）作与棱垂直的向量，则这两个向量所成的角就是二面角的平面角.现举例说明应用.

二、新方法的应用举例

图2

例1 （2018年天津卷理17）如 图 2，AD ∥BC且 AD=2BC，AD⊥CD，EG∥AD且EG=AD，CD∥FG且CD=2FG，DG⊥平面ABCD，DA=DC=DG=2.

求二面角E-BC-F的正弦值.

评注：多面体中的二面角，常遇到需要扩展半平面的情况，在扩展后的半平面内较易找到与棱垂直的向量.此题中由于两个向量都过C点，故不需要平移它们即可得到二面角的平面角.当然，此时也可直接用解三角形的方法得到二面角的平面角.

例2（2018年全国卷Ⅱ理20）如图3，在三棱锥PABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点.

（1）证明：PO⊥平面ABC；

（2）若点M在棱BC上，且二面角M-PA-C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值.

图3

图4

解析：（1）略.

在正△APC中，设N为AP的中点.

评注：此题给出了二面角的大小，则求出M、D点的坐标是解题的关键！根据它们在已知直线上，利用平面解析几何中的直线方程设出坐标，再利用垂直得到x与y的关系，代入二面角公式即可求出x的值.此题如果用法向量来解，严谨的做法需根据三棱锥侧面夹角B-PA-C为arccos来判断二面角M-PA-C为锐角，此过程的计算量也相当大.

例3 （2018年北京卷理16）如图5，在三菱柱ABCA1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB=BC=，AC=AA1=2.

（1）求证：AC⊥平面BEF.

（2）求二面角B-CD-C1的余弦值.

解析：（1）略.

（2）由（1）可知AC⊥平面BEF，AC⊥BE，AC⊥EF.又因为EF⊥BE，所以以E为原点，EA，EB，EF为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图6所示，由条件易知B（0，2，0），C（-1，0，0），D（1，0，1），C（1-1，0，2）.

图5

图6

评注：本题解答的关键是在两个半平面中得到分别垂直于棱CD的向量若使用法向量来解，需通过点B在平面CDC1上的射影E在半平面外，来判断二面角B-CD-C1是钝角.

三、总结

运用上述方法解二面角问题的步骤是：先看两个半平面是否已有垂直于棱的向量，如果有就可以直接求二面角（例1）；如果没有，可在半平面找一点（坐标最好是已知的），过该点作棱的垂线，然后求出垂足的坐标即可（例2、3）.解题时可结合条件灵活选用.

需要强调，在运用上述新方法解二面角问题的过程中所作的两个向量，当起点（或终点）都在棱上时，则这两个向量所成的角就是二面角的平面角，当一个向量的起点在棱上，另一个向量的终点在棱上时，求出的角是二面角的补角.F