构造函数巧解含导数的不等式

安徽省淮北市第一中学 刘冠麟

在平时做题中，我们经常会遇到一些条件为含有导数的不等式的小题，他们形式多样却都有异曲同工之妙，如果掌握了这类题目的一般方法，那么这类题目便迎刃而解。以下，笔者将结合例题介绍解此类小题的方法。

一、基本模型

1．系数为单项式

总结：有导函数和原函数之和，常构造积函数的导数；有导函数和原函数之差，常构造商函数的导数。

2．系数为多项式

该类型题目不是很常见，但一旦遇到，便很难找到思路。此处仅列一例，以供参考。

由 ebxxn-1（bx+n）f（x）+xf ′（x）可构造xnebxf（x）。

例3 已知f（x）是定义在R上的可导函数，且满足（x+2）f（x）+xf ′（x）＞0, 则（ ）。

A.f（x）＞0 B.f（x）＜0 C.f（x）单调递减 D.f（x）单调递增

解析：构造f（x）=x·e2x·f（x），则f（x）= e2x·f（x）+x·2e2xf（x）+x·e2x·f ′（x）=e2x[（x+2）f（x）+x·f ′（x）]＞0。因此f（x）在R上单调递增，故选D。

二、相关技巧

1．换元

有些题目变形较大，一眼看不出适用于哪个模型，这时需适当变形，同时要具备整体意识。如 2f（x）-f′（x）＜ 2⇔f′（x）-2f（x）+2 ＞ 0⇔[f（x）-1]′-2[f（x）-1]＞ 0，可构造f（x）=

2．从题目所问得到启发构造函数

3．变形构造

此处所介绍的方法技巧等只是冰山一角，想要更快更好地解出导数小题，还需要大量的做题和总结。总结出自己的做题“套路”，面对高考导数小题便可胸有成竹。