构造函数巧解含导数的不等式

2019-03-19 12:46安徽省淮北市第一中学刘冠麟
数学大世界 2019年2期
关键词:原函数做题单调

安徽省淮北市第一中学 刘冠麟

在平时做题中,我们经常会遇到一些条件为含有导数的不等式的小题,他们形式多样却都有异曲同工之妙,如果掌握了这类题目的一般方法,那么这类题目便迎刃而解。以下,笔者将结合例题介绍解此类小题的方法。

一、基本模型

1.系数为单项式

总结:有导函数和原函数之和,常构造积函数的导数;有导函数和原函数之差,常构造商函数的导数。

2.系数为多项式

该类型题目不是很常见,但一旦遇到,便很难找到思路。此处仅列一例,以供参考。

由 ebxxn-1(bx+n)f(x)+xf ′(x)可构造xnebxf(x)。

例3 已知f(x)是定义在R上的可导函数,且满足(x+2)f(x)+xf ′(x)>0, 则( )。

A.f(x)>0 B.f(x)<0 C.f(x)单调递减 D.f(x)单调递增

解析:构造f(x)=x·e2x·f(x),则f(x)= e2x·f(x)+x·2e2xf(x)+x·e2x·f ′(x)=e2x[(x+2)f(x)+x·f ′(x)]>0。因此f(x)在R上单调递增,故选D。

二、相关技巧

1.换元

有些题目变形较大,一眼看不出适用于哪个模型,这时需适当变形,同时要具备整体意识。如 2f(x)-f′(x)< 2⇔f′(x)-2f(x)+2 > 0⇔[f(x)-1]′-2[f(x)-1]> 0,可构造f(x)=

2.从题目所问得到启发构造函数

3.变形构造

此处所介绍的方法技巧等只是冰山一角,想要更快更好地解出导数小题,还需要大量的做题和总结。总结出自己的做题“套路”,面对高考导数小题便可胸有成竹。

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