经典图形变式拓展，预设自编开放教学——以“再探正方形性质与判定”教学为例

☉江苏省苏州工业园区星海实验中学 陈 怡

最近一次学校教研活动中，笔者有机会执教一节正方形的习题课，由于习题课中教学上没有可供多选的习题或素材，经过精心选题以及备课组同仁研讨打磨，确定了以经典图形为背景，不断变式拓展，以问题串的方式推进学程，教学进程中也恰当预设了一些学生自编习题的教学活动，起到了较好的教学效果.本文梳理该课教学流程，并跟进阐释教学立意，供研讨.

一、教学流程概述

教学环节（一） 经典例题，基础热身

例1 如图1，正方形ABCD中，点E、F分别是边AB、BC的中点，连接DE、AF，请指出线段AF、DE的数量与位置关系，并说明理由.

教学预设：学生易证△ABF △DAE，从而得到线段DE、AF的数量关系是AF=DE，并且由∠1、∠2、∠3之间的关系，可得线段AF、DE的位置关系是AF⊥DE.这样利用正方形的边、角性质，借助全等三角形，得出线段的关系，同时提炼出本节课研究的两个重要“对象”：一个正方形与两条线段.同时教学互动过程中学生踊跃回答问题，为这节课开了个好头.

图1

图2

变式：如图2，正方形 ABCD中，点E、F分别在边 AB、BC上，当点E、F不再是两边中点时，如果还要有AF=DE，AF⊥DE，你觉得点E、F至少要满足怎样的条件？

教学预设：若AF=DE，根据全等三角形可得AE=BF.将中点这个特殊条件一般化，让学生将条件和问题互换，教学时可安排学生小组讨论，先组内编写题目交流确认之后再全班交流展示.

教学环节（二） 变式拓展，参与编题

例2 如图3，正方形ABCD中，点E、F、G分别是边AB、BC、AD上的点，连接GF、DE，小苏提出一个命题：当GF⊥DE时，求证GF=DE.请同学们思考：小苏提出的命题是真命题吗？并进一步思考：若将小苏命题中的条件和结论互换一下，仍然成立吗？

教学预设：根据GF⊥DE，由“HL”证全等得GF=DE.但是由GF=DE，不一定能保证GF⊥DE.在学生出错后，要注意引导究错.从本质上说“位置确定之后，有确定的数量关系；但数量关系明确之后，不一定严格对应着一种位置关系”，比如，“对顶角相等”与“相等的角都是对顶角”.

图3

图4

图5

变式再练：如图4，已知正方形ABCD，点E、F、G、H分别是边AB、BC、DC、AD上的点，现在请你将GE⊥FH和GE=FH中的一个作为条件，另一个作为结论，编出正确的题目，并给出证明.

教学预设：若GE⊥FH，可以得出GE=FH；但是由GE=FH，不能得出GE⊥FH，如图5就是一种反例构图.

图6

图7

拓展1：如图6，正方形ABCD的边长为18，在AD上取点G，在BC上取点F，将这个正方形沿GF折叠，使点D落在边AB上，得到点E，已知AE=6，求DG的长.

拓展2：如图7，在拓展1中，DC经折叠后与边BC交于点H，随着点G、F在边AD、BC上移动，∠EDH的大小会发生改变吗？

教学预设：这两道拓展题以正方形的折叠为载体，让学生自我操作和探究.拓展1中假设未知数，找出直角三角形，利用勾股定理列出方程.拓展2中添加垂线段，形成两组全等三角形，进而求出角的大小.这两个问题培养学生学会思考，并从问题情境中归纳、概括得到猜想和证明，注重知识的形成过程.

教学环节（三） 继续生长，拓展链接

例3 如图8，已知正方形ABCD，点E、F分别是边DC、CB延长线上的点，请围绕线段DF、AE的数量和位置关系，编写题目并给出证明.

图8

图9

拓展：如图9，四边形ADEF中，对角线AE与DF垂直且相等，点G、H、M、N分别是AF、FE、DE、DA的中点，请判断四边形GHMN的形状并证明.

教学预设：从例1、例2变式为例3之后，拓展到中点四边形的研究，即中点四边形的形状只与两条对角线的数量、位置关系有关，与四边形的形状无关.

教学环节（四） 图形旋转，探求最值

例4 如图10，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E、F分别是边AD、DC上的点，OE⊥OF，当正方形的边长为1时，求线段EF的最小值.

拓展：当△OEF绕点O旋转时，四边形EOFD的面积发生改变吗？

教学预设：由正方形的性质，得到△DOE △COF，易证△OEF是等腰直角三角形，因此EF= ■ 2 OE.要求EF的最小值，只需求EO的最小值.四边形EOFD的面积可以转化成△ODC的面积，所以面积不变.教学时要关注学生是否能够正确判断出△OEF是等腰直角三角形，并能正确使用“点到直线的线段中，垂线段最短”这个性质.

图10

二、教学立意的进一步阐释

1.引导学生深入探究正方形相关综合问题

本课教学内容是苏科版教材八年级下册第九章9.4节矩形、菱形、正方形.本节课之前，学生已经学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定，作为正方形的第3课时，学生对正方形与两条垂直线段组合成的图形的理解还比较浅显，对由正方形本身可以直接观察出来的结论能迅速得出，但是对技巧性较高的问题还需要经过一定的训练.本节课中，教师以学生为主体，借助一个正方形和两条线段这种基本图形的训练，让学生充分参与课堂，自主探索编题.通过问题的提出，引出思考训练，学生能够对正方形的性质与判定进行有效训练.

2.重视开展开放教学，预设变式拓展问题

本课十分重视开放式教学，教师通过问题串层层递进，学生在解答的过程中也能成功编写题目.不同例题讲评之后，多次进行的变式或拓展训练，使学生加深了对课堂知识的理解，提高了他们的发散思维能力.特别是，学生从学会解题到自主编题，其实是教师从问题中一步步引导出来的结果，掌握前面给的图形性质，加上一部分拓展思维得到新的问题，并不困难.自主编题使原来以教师为主的习题课变成学生、教师全员参与的讨论课，极大地激发了学生的学习热情.在这个过程中，启发学生参与课堂进行思考，特别是“通过变化以突出其中的不变因素”，从而帮助学生更好地掌握数学概念的本质.通过一题多变，引导学生对问题从多角度、多层次、多方面思考，最终在此过程中提高自己的数学思维能力.

3.把核心素养的培养“落脚”在课堂教学

我们知道，数学学科核心素养包括抽象思想、推理思想、模型思想等，过去我们在解题策略中强调的很多解题方法，也可归入相应的核心素养范畴.比如，化归思想、数形结合、分类讨论、以美启真等，都可看成是相应核心素养的内涵.如本课关注的以正方形为载体的综合问题，其求解策略主要是以美启真、化归思想、模式识别.在所有的四边形中，正方形无疑是最完美的四边形，它不仅是轴对称图形，还是中心称图形，既具有矩形的一切性质，又具有菱形的一切性质，是矩形和菱形的完美化身.正方形的这些性质给我们解答正方形相关问题提供了便利.这节课利用这个基本图形，将两条线段从特殊到一般，从形内到形外，借助全等三角形，和一些典型的辅助线，让学生探索线段的关系，求出角度大小或线段的最值.