再谈垂径定理及其应用

☉湖北省武汉市第三十中学 程 艳

初中九年级的学生在七、八年级时已经学习了轴对称图形的有关概念和性质，也学习了等腰三角形的对称性和三角形全等的知识，本节课，要求学生在理解弧、弦的概念和了解等圆、等弧的概念的基础上，准确理解、掌握垂径定理及其推论，会进行相关计算，并会运用垂径定理及其推论解决现实生活中的问题，提升学生分析、探索和证明的能力.

课前准备好三角板、圆规等部分教具、自制课件和个人电脑.以下是垂径定理的应用这节课的课堂实录.

师：今天我们复习圆的垂径定理及其应用！请问，圆的重要性质是什么？

生1：圆既是中心对称图形又是轴对称图形.

师：根据圆的轴对称，可得圆的垂径定理，什么是垂径定理？

生2：在圆中，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.

教师画图示意.

师：垂径定理有哪些推论？

生3：推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

生4：推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.

师：垂径定理还有哪些推论？请举手回答！

生5：推论3：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.还有推论4：圆的两条平行弦所夹的弧相等.

师：同学们在学习垂径定理时会碰到平分弦、优弧和劣弧，垂直于弦，过圆心等具体条件，如何有效进行推理？

师：在下列5个条件中，只要具备其中任意两个作为条件，就可以推出其他三个结论.简称为知二推三.

（1）平分弦所对的优弧；

（2）平分弦所对的劣弧；（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）；

（3）平分弦（不是直径）；

（4）垂直于弦；

（5）过圆心.

师：垂径定理是初中数学的重要内容，同学们必须理解圆的轴对称性和垂径定理及其推论，初三数学学习中，掌握垂径定理，并能应用垂径定理及其推论进行有关计算和证明，是解决和圆有关的问题的关键.

垂径定理主要用来解决长度、角度、范围等问题，下面通过几个例子进行逐一体会：

一、垂径定理的简单运用

例1 （2018·湖南张家界）如图1，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则AE=（ ）.

A.8cm B．5cm C．3cm D．2cm

则AE=AO+OE=5+3=8（cm）.

故选A.

图1

图2

例2 （2016·广西百色）如图2，⊙O的直径AB过弦CD的中点E，若∠C=25°，则∠D=______.

生：由∠C=25°，得∠A=∠C=25°.

由⊙O的直径AB过弦CD的中点E，得AB⊥CD.

则∠AED=90°.

则∠D=90°-25°=65°.

故答案为65°.

二、利用垂径定理解决长度问题

例3 （2017·浙江金华）如图3，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（ ）.

A.10cm B.16cm C.24cm D.26cm

生：由OB=13cm，CD=8cm，得OD=5cm.

则AB=2BD=24（cm）.

答案为C.

师：本题中没有给出垂径定理的条件，但我们可以通过作辅助线作出垂直于弦的直径，从而利用其平分弦及垂直产生的直角，借助勾股定理求出线段长度.

图3

图4

例4 （2013·浙江嘉兴）如图4，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC.若AB=8，CD=2，则EC的长为（ ）.

师：观察题中是否有垂径定理模型.

生：OD垂直平分AB.

师：由垂径定理可以得到哪些量？

生：AC=4，CD=2.

师：求解线段CE的长，利用勾股定理必须构建直角三角形，如何构建直角三角形？

生：连接EB，则由直径所对圆周角是直角可知△EBC为直角三角形，由EB=2OC，BC=4，可求EC.

师：说说你的解题过程.

生：由⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB=8，得AC=AB=4.

设⊙O的半径为r.

则OC=r-2.

在Rt△AOC中，AC=4，OC=r-2，OA2=AC2+OC2.

则r2=42+（r-2）2，解得r=5.

则AE=2r=10.

连接BE.

图5

由AE是⊙O的直径，得∠ABE=90°.

故选D.

师：解决求线段长的问题时，要充分挖掘题中条件，合理构建直角三角形，借助勾股定理求线段长.本题根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.

三、利用垂径定理解决角度问题

例5 （2018·山东菏泽）如图6，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA等于（ ）.

A．64° B．58° C．32° D．26°

图6

生：如图7.

∠2=2∠1=2×32°=64°.

则∠3=64°.

在Rt△OBE中，∠OEB=90°，则∠B=90°-∠3=90°-64°=26°.

故选D.

师：此题考查垂径定理与圆周角定理.此题比较简单，应注意掌握数形结合思想的应用.

例6 （2017·湖北襄阳）在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为1和，则∠BAC的度数为______.

师：根据题中所给条件画出适合的图形，大家试着画画看

生1：如图8.

图8

图9

师：大家认可这种图形吗？

生2：还可能是另一种情况，如图9.

师：你是如何想到有这两种位置关系的？

生3：将AC绕着点A试着旋转一下就可以发现应该有多种情况.

师：非常好！下面请大家试着算算看.

生4：按照图10的解法：

生5：如图11，当点O在∠BAC的外部时，∠BAC=60°-45°=15°.

图10

图11

四、利用垂径定理解决最值问题

例7 如图12，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是线段BC上一个动点，以AD为直径作⊙O分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，则线段EF长度的最小值为______.

图12

图13

师：由垂径定理我们可以发现，圆的半径、半弦长可以构成直角三角形，所以我们可以利用这个直角三角形求弦长，由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，如图13，连接OE、OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H.在△EOF中，∠EOF=120°，OE为半径，EF=2EH=2OE·sin60°.要使EF最小，只需要OE最小.又2OE=AD，故当AD⊥BC时，AD最小，所以可求.

例8 （2015·泰兴市二模）如图14，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD=3，AB=8，PM=a，则a的最大值是______.

图14

图15

图16

生1：连接OM、OC，推出PM=OC，求出OC的长即可.

连接CO、MO，根据∠CPO=∠CMO=90°，所以C、M、O、P四点共圆，且CO为直径.设CO的中点为E，则PM为⊙E的一条弦，当PM为直径时PM最大，所以PM=CO=4时PM最大.即PMmax=4.

生2：延长CP交⊙O于点E，根据垂径定理，得P是弦CE的中点.又M是CD的中点，连接ED，则PM为⊙O的弦长ED的一半.当ED为直径时，PM的长最大，最大为直径AB的一半，则PM的长度的最大值为4.

师：本节课主要讲述了垂径定理的基本内容和垂径定理的应用.

在解决角度、长度等问题的过程中，往往需要借助圆的切线的性质，平行线的性质和判定，勾股定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，能灵活运用这些知识点进行推理是解题的基本途径，大家今后在解决圆的相关问题时，要注意综合利用题设条件，合理运用垂径定理.F