例谈数形结合在数学计算教学中的应用

钱华

摘  要：小学是学生建构数形结合思想的极佳时期，也是学生从以形象思维为主逐渐向抽象思维发展的过渡时期。在计算教学中，教师要有意识地利用数与形之间的内在联系，引导学生以形直观地表示数，以数精确地研究形。以形激情，增添计算教学的趣味;以形助数，豐富和加深学生对数学知识的理解;以数辅形，改善学生的思维方式，提高学生的数学素养。

关键词：数形结合;计算教学;应用;方法

数学是研究客观世界的空间形式和数量关系的科学。数与形是数学表达的两种方式。“数形结合百般好，割裂分家万事休。”这句话说明了“数”和“形”是紧密联系的。利用数与形之间的内在联系，以形直观地表示数，以数精确地研究形，这就是“数形结合”。数形结合有利于小学生抽象思维和形象思维的协调发展，优化解决问题的方法。在计算教学中教师要利用“形”的直观，把抽象问题形象化、枯燥问题趣味化，激发学生的计算学习的兴趣。结合教学内容，教师要努力挖掘“形”与“数”的联系，有机结合，一方面帮助学生丰富和加深对数学知识的理解，启发有个性地分析、解决问题，提高思维水平;另一方面改善学生的思维方式，启发他们把握数学关系和规律，不断提高数学素养。

一、以形激情，增添趣味

教育家皮亚杰说过：“儿童是具有主动性的人，所教的东西要能引起儿童的兴趣，符合他们的需要，才能有效地促使他的发展。”数学具有抽象性，尤其是计算教学。小学生由于年龄小且知识有限，对抽象的计算总会感到枯燥无味，较难接受。课堂上如果教师多给学生一些有趣的感觉，创设愉悦轻松的学习气氛，就可能调动学生学习计算的积极性，学生思维亦能在短时间内活跃起来。

例如，教学“鸡兔同笼”问题，对于这样的难题，我们怎样做才能让学生喜欢并学会呢？课堂上教师采用数形结合的方法，让学生画图解决，即用简单的圆代替动物的头，用竖线代替动物的脚，学生在画的过程中一旦发现多了或少了也可以马上修改。教师选择部分进行展示，并请学生说说想法。教师利用“形”具有的形象直观的优势，既引导了学生的思维，又满足了学生的表现欲，学生显得很兴奋。学生在画的过程中，对鸡兔同笼中“几个头、几只脚”有了一个最基本的认识，对这类题目的第一感觉就是有趣。

学生获得知识，必须建立在自己思考的基础上。而小学生的思维以具体形象为主，抽象思维能力比较薄弱。借助图形、符号，化抽象为具体，这种解决问题的方式更符合学生的思维模式。学生在这样的活动中一展身手，体验到成功，增添了学习乐趣。

二、以形助数，数形结合

新课标指出：计算应是学生经历从现实生活中抽象出数和简单的数量关系，在具体的情景中理解，并应用所学的知识解决问题的过程，应避免繁杂的运算，避免将运算和应用割裂开来。新教材注重在计算教学的过程中结合学生的生活实际，将数的认识以及数的计算等知识的学习与具体实物、图形相结合，运用数形结合的思想方法来进行教学。

1. 巧借图形，把握概念本质

大多数数学概念显得非常抽象，小学生由于受到各种因素的局限，其思维仍停留在直观形象的认识上，因此会对抽象的知识感到困惑，难以把握数学概念的本质。教师要针对数学概念的难点，借助图形的直观简明，以恰当的手段帮助学生建立模型，从而理解数学概念，打好计算学习的基础。

例如，教学“认识乘法的概念”时，教师出示多组相同的图案，让学生观察，引导学生列出相同加数相加的算式。这样安排，既能直观、形象地呈现乘法的初始状态，使学生体会乘法的由来，同时借助学生已有的看图列加法算式这一知识经验，又加深了图、式的对应思想，无形中降低了教学难度。课堂上教师利用PPT出示一组电脑（有2台），然后依次出现这样的第2组、第3组，一直到第6组，让学生计算总共的台数，起初学生自然是用相同加数相加的方法来计算。接着，教师一边出示更多组电脑，一边询问：“如果有20组、30组，甚至100组，你们怎么办呢？”学生感慨：好麻烦。算式太长了。这时，建立乘法概念水到渠成！此时教师告诉学生，当多个相同的数相加时，可以用乘法算出结果。

乘法概念的教学过程，也是“图→式”的转化过程，此时学生的思维从具体转为抽象，在理解乘法概念的同时，还体会到用乘法可以更快地解决问题。借助形的直观进行抽象概念的教学，有利于学生对数学知识的理解入木三分。

2. 善用操作，理解计算算理

小学数学内容中，计算教学占了很重要的分量，要让学生更好地掌握算法，就要引导学生理解算理。但对小学生来说，许多计算题的算理是隐性的，不易被发现和理解。尤其在课改后，教师更注重算法多样化，在计算方法的研究上下了很大工夫，却忽视了学生对算理的理解。计算教学要重视引导学生理解算理，只有明白算理，才能更好地掌握计算方法。数形结合，是帮助学生正确理解算理的一种很好的方式。

例如，教学“两位数除以一位数（首位不能整除）”，当孩子发现“52÷2的十位除2后余1”时，教师适时引导，组织学生用小棒摆一摆、分一分，看看先分什么，再分什么，最终结果怎样。借助操作活动，学生很快发现要先把5捆平均分成2份，这样每份是2捆，还多出1捆;接着把这一捆拆开和2根合起来继续平均分成2份，每份是6根;最后把2捆和6根合起来，商就是20+6=26。在这个基础上再引导学生用竖式计算，并思考十位除后余下的1个十怎样办，学生就顺理成章地想到要把这1个十和个位的2合起来然后继续除，顺利突破了算理这个难点。

又如，在分数除以整数的教学中，一开始学生对÷2=这一结果并不确信。教师适时引导学生把算式画出来。学生尝试着画出算式，有些用一个圆，有些用一个长方形，画出图形的，再把图形的平均分成2份，发现每份是图形的，化简后就是。画出了算式，发现只需将分子4除以2，分母6不变，最后化简即可。接着提问“如果是÷3，而2÷3不够商，怎么办？”学生再次画图，从图中发现÷3就是÷3，等于，继而明白除以3就是乘。在此基础上引导学生小结：一个数除以整数，等于乘这个整数的倒数。

学生用画图的方法把枯燥的算式转化成规则的图形，体会到数学的奇妙和趣味性，同时更好地理解了算理，掌握了计算方法。

三、以数辅形，相辅相成

布鲁纳指出：“掌握基本的数学思想方法，能使数学更易于理解和记忆，领会基本数学思想和方法是通向迁移大道的‘光明之路。”“形”具有直观性，但也有不易表达的劣势，但“数”具有抽象性和深刻性，能反映问题的本质。在解决问题时，可以借用数据来表示图形的特征，通过数的运算和变式求出相应结果，找到解决问题的方法，增强学生对数形结合的认识。

例如，学生学习长方形、正方形的周长和面积后，在《周长和面积》练习课上教师设计了这样的练习：用16根1厘米长的小棒围成长方形或正方形，你能围出多少个？其中面积最大的是多少？

虽然这是有关“形”的研究，但通过“形”学生只能粗略地感觉到，当周长相等时，图2的面积大于图3的面积。

那么怎样做才使学生获得“周长相等时，长、宽之差越小，所得到的长方形面积越大”这一结论呢？显然要精准地说明，只通过“形”是不可能做到的。因此，教师引导学生通过填写表1，利用“数”的计算，来解决问题。

学生经过研究发现：符合要求的四种长方形中，正方形的面积最大。通过“数”的研究，学生对周长、面积及两者间的关系有了更深刻的认识。这样就把“静态”的学习变成“动态”的研究，这也就是“以数辅形”，数形结合，相辅相成的很好体现。

数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”数形结合是计算教学中的一种重要手段，也是学生学习数学的一种方式。在小学计算教学中，教师要渗透数形结合的思想，从而提高计算学习的有效性，促进学生数学抽象思维的发展，提高数学素养。