“下面的”梯形，是怎样的梯形？

余小芬 刘成龙

摘  要：习题是教材的重要组成部分，但教材中的个别习题存在瑕疵或错误。本文分析了人教版小学教材中一道习题存在的问题，并针对问题提出了改进建议。

关键词：教材;习题;建议

习题是教材的重要组成部分，既能帮助学生进一步巩固新知，又能帮助学生不断积累数学经验。但教材中的习题并非完美，个别习题存在瑕疵或错误。因此，在教材的使用过程中我们要用批判的眼光去看待习题，去发现并改进习题中的一些问题。比如：学完人教版五年级上册第六单元《多边形的面积》中“梯形的面积”这一节后，教材设置了一道巩固性习题（98页第11题）。笔者认为该习题（下文简称例1）存在一些问题，鉴于教材习题的示范性、影响的深远性，这些问题亟待改善。

一、习题及解答

例1  在下面的梯形（如图1）中剪去一个最大的平行四边形，剩下的面积是多少？有几种求法？

教师用书给出了如下分析和解答：

首先要考虑如何剪去一个最大的平行四边形。这个平行四边形应该是以梯形上底长度为底长的平行四边形，剩下的是三角形（如图2或图5），可以用两种方法求面积。

方法1：梯形的面积-剪去的平行四边形的面积：（2+3.5）×1.8÷2-2×1.8=1.35cm2。

方法2：用梯形的下底长减去梯形的上底长得到剩下三角形的底长，再乘梯形的高，最后除以2，得到剩下的三角形的面积：（3.5-2）×1.8÷2=1.35cm2。

（一）对话教师用书

仔细推敲，教师用书中的分析不尽完善。

第一，从编者的解答过程看满足条件的剪法仅有两种，事实上满足条件的最大平行四边形有无数多个，比如从图2到图5动态变化过程中的任何一个平行四边形都满足条件，并且剪去最大平行四边形后，剩下的图形要么是一个三角形，要么是两个三角形。

第二，教师用书介绍的这两种方法均默认了所剪平行四边形面积最大，并未涉及为什么这样剪面积最大。

（二）对话教材编者

心理学家皮亚杰指出：“活动是认知的基础，智慧从动作开始。”动手操作过程是学生学习的一种探索过程。学生只有具备了较强的动手操作能力，才能充分感知和建立表象，为分析和解决问题创造良好的条件。《义务教育数学课程标准》（下文简称《标准》）在“学段目标”的“第二学段”中提出了“在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力，能进行有条理的思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果”。因此，《多边形的面积》这一单元对平行四边形等面积公式的推导都是建立在学生数、剪、拼、摆的操作活动之上的，所以操作是本单元教学的重要环节。教材设置这一习题也正是基于课标要求，培养学生的观察、推理、动手能力，并进一步巩固平行四边形、三角形和梯形的面积公式以及平行四边形等底等高等面积这一知识。

对于如何剪出最大的平行四边形，大多数学生的直觉是按如图2或图5这两种方式剪，至于“为什么这样剪得的面积最大”，显然，五年级学生的认知水平不能严谨地解释该问题。对于小部分有想法的学生，根据他们的认知能力和活动经验，也只能通过剪裁出不同大小的平行四边形，再逐一测量底和高，计算面积，比较大小。学生仅能够做到初步“探”出最大的平行四边形，而不能深“究”出得出结论的缘由，并且这种探究也只是有限次的探究，毕竟可构造的平行四边形有无数多个，平行四边形的一组对边也并不一定与梯形上下底平行。

二、笔者对例1的思考

《标准》指出：“数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志。”而学生的数学活动经验是在参与数学活动的基础上获得的。例1为学生积累了在梯形中剪出最大平行四边形的经验，但由此建立的数学活动经验是不完整的，是有缺陷的。笔者对该习题进行了改编，将上底长2cm改为1cm，保持其余条件不变。请看下文例2及分析。

（一）例1、例2的对比研究

例2  在下面的梯形（如图6）中剪去一个最大的平行四边形，剩下的面积是多少？

套用例1的解答方法，可得最大平行四边形（如图7）的面积为1×1.8=1.8cm2，但事实上，在例2这个梯形中还可以剪出面积更大的平行四边形：如图8，构造平行四边形MBQN，量出MN=1.5cm时，对应高MH=1.4cm，此時平行四边形MBQN的面积为1.5×1.4=2.1cm2>1.8cm2。又比如量出的MN=2cm时，高MH=1cm，此时平行四边形的面积为2×1=2cm2> 1.8cm2。可见，例1的解答方法在此处不奏效。这是为什么呢？仔细对比例1和例2，题干中都强调“下面的梯形”，这似乎对梯形的“形状”有所限制，那“下面的梯形”到底是怎样的梯形呢？带着疑问，笔者先用几何画板对例1和例2分别做了探究，得到了如图9所示的数据（为了对比更准确，这里将数据精确到千分位）。

从表中数据可以看出，例1中最大的平行四边形的确是以梯形上底为底，以梯形高为高的平行四边形，但例2中平行四边形的最大面积是当底MN的长在1.75cm左右时取得的，再联想到梯形下底长3.5cm刚好是1.75cm的2倍，那是否可以这样猜想：例2中若以梯形下底的一半作为平行四边形的底，就能构造出最大面积的平行四边形。

由于例2只是对例1中梯形的上底长做了改变，因此可考虑“下面的梯形”可能被梯形上、下底长的某种数量关系所限定。考虑到不论是动手作图还是计算机作图，都存在测量、读数上的误差，为进一步证实上述假设，笔者对该问题的一般情形进行了说明，得到了如下定理。

（二）梯形中最大平行四边形的定理

不难分析出梯形中面积最大的平行四边形的特征为：平行四边形的四个顶点全都落在梯形的边上。笔者经探究，得到梯形中最大平行四边形定理：

定理  如图10，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=a，BC=b（a<b），AB=c，梯形高为h，且E，F，G，H分别在边AD，AB，BC，CD上，四边形EFGH为平行四边形，则：

（1）当a≥时，（SEFGH）max=ah;

（2）当a<时，（SEFGH）max=。

（定理的证明参见文[1]，此处略。）

特别地，当a≥时，FE与上底AD重合，GH落在下底BC上时，平行四边形面积最大为ah;当a<时，FEBC，GH落在下底BC上时，平行四边形面积最大为。从数学的角度来看，例1、例2充分体现了分类的思想。

三、对教材的建议

叶圣陶先生曾说：“教材只能作为教课的依据，要教得好，使学生受到实益，还要靠教师的善于运用。”教师不能满足于学生会正确求解一个具体数学问题的结果，更重要的是学生是否关注推论方法的科学性，以及推论结果是否具有一般意义，从而学会举一反三，实现经验的一般性拓展 [2]。

教材中仅仅设置例1，从数学的角度来看是分类的不完整，没有理解数学，不利于建构正确的数学活动经验。笔者建议教材中增添例2，以便形成分类的意识，完善学生的基本活动经验。那么，通过这两道习题的操作，学生应该达到什么样的程度呢？笔者认为应放手让学生去自主思考，通过他们大胆猜测估算、实际测量、计算面积、比较大小，初步感知不同数据下处理方式的不同，并且能通过合情推理归纳出两种情况下存在的不同结论。正如数学家波利亚在《数学与猜想》中所说：“只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程，那就应当让猜测合情推理占有适当的位置。”当然，为弥补学生操作和证明上的不足，教师需要通过几何画板等多媒体技术加以直观验证，让学生更深刻地体会到图形运动变化过程中面积大小的改变，进而获得更深刻的直接和间接活动经验。至于结论的证明，小学不作要求，可告诉学生在初中学完二次函数后即可证明。

总之，在小学数学教学过程中，教师要真正理解数学、理解学生、理解教学，让学生由“经历者”成为“经验者”。

参考文献：

[1]  余小芬，刘成龙. 梯形中平行四边形的面积最大问题[J]. 中学数学教学，2018（1）：70-73.

[2]  张琦. 抓节点 促提升——数学基本活动经验积累策略谈[J]. 福建教育，2015（12）：50-51