学会用数学的方式解读内容设计教学——以“相交线”为例

章建跃

(人民教育出版社 100081)

1 引子

很可能许多老师都觉得“相交线”太简单了，自己对这个内容的理解很清楚，学生对它的学习也没什么困难，所以这个内容的讨论价值不大.真的如此吗？一段时间以来，我有意识地对这一内容的教学进行了调研，在全国各地听了十来位老师的课，得出的结论是，没有一位老师把“相交线”教清楚了.教师没有从“研究一个数学对象”的角度思考和设计教学过程，在研究对象的抽象、研究内容的明确、研究思路的构建、研究方法的引导等方面缺乏起码的预设，三下五除二地给出邻补角、对顶角及其性质，把主要精力用在解题上.结果是学生知道邻补角、对顶角的形式化表述但不知道为什么要研究它们，知道“对顶角相等”及其证明但不知道为什么要证明，对于如何研究相交线、相交线的性质到底指什么等了解甚少，至于直观想象、数学抽象、逻辑推理等素养的渗透就更无从谈起.通过课后交流发现，造成如此状况的原因，主要是教师自己对这个内容的理解缺乏必要的深度，更缺乏用数学的方式解读内容、设计教学的能力.

那么，相交线的本质是什么？它所蕴含的数学思想和方法是什么？有怎样的育人价值？相交线的教学我们应教什么？学生知道了邻补角、对顶角的概念，知道了“对顶角相等”及其证明，而且也会用它们来解题，就算掌握了“相交线”吗？我认为，作为学生学习的第一个几何对象，“相交线”在使学生了解研究一个几何对象的“基本套路”上具有奠基意义，在如何定义几何图形和图形的关系、几何对象的性质指什么、如何发现和提出值得研究的数学问题等一般观念(也可以称之为“大概念”)的教学上，也可以有所作为.总之，要把“简单的相交线”教好，使学生能从中品出一点几何学习的味道来，是需要做一番仔细推敲的.本文将从“理解数学”入手，在明确相交线这一数学对象的抽象过程和研究内容的基础上，提出教学设计的基本思路.

2 已有学习基础

2.1 基本几何图形

在学习相交线与平行线之前，学生已经知道“几何学是研究物体的形状、大小和位置关系的一门学科”；通过“几何图形初步”一章的学习，他们经历了“几何图形——立体图形与平面图形”、“体——面——线——点”等概念的抽象过程，知道了“点动成线，线动成面，面动成体”，并研究了直线、射线、线段和角等最基本的几何图形.尽管这些过程的抽象程度不高，学生通过直观感知获得对相应概念的认知，但他们由此积累了一定的几何图形研究经验，在直观想象、数学抽象等素养上得到了培养.

2.2 关于角的研究

对“角”的研究，学生经历了如下过程：

(1)角的概念

通过观察一些具有角的形象的事物，分析它们的组成元素，归纳出共性是“两条射线”、“端点重合”，再抽象出定义：“有公共端点的两条射线组成的图形叫做角”；然后，给这些组成元素命名：公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边；接着，用图形语言、符号语言等表示角.

通过一条射线绕端点从一个位置旋转到另一个位置形成的图形，给出角的另一种定义，并根据终止位置和起始位置的关系(其实是射线所转过的角区的大小)，给出以直角、平角和周角(两条射线的特殊位置关系)为“界”的角的简单分类.

以上是几何概念的定义过程，实际上是“明确研究对象”的过程，学生可以在如何用数学的眼光观察一类事物、定义一个几何对象要完成哪些事情(背景——定义——表示——分类)、如何确定分类标准(几何对象组成要素的关系)等方面积累一些数学活动经验.

(2)角的度量

先复习小学已学的角度制和度分秒的换算，再提示角有不同的度量制.从小学开始，学生对于长度、角度、面积和体积等几何量的学习，大致要经历五个阶段：

量的初步认识(直观感知“量”，直观或直接比较“量”的大小)；

量的间接比较(用非标准单位或用另一个量为“中介”比较)；

认识国际通用单位并用其描述大小；

国际通用单位体系的认识与换算；

利用公式求量的大小(只有面积和体积有此阶段).

学生在小学阶段就已经有了度量角的直观经验，这里是完善过程.

(3)角的大小关系和运算

类似于数的大小关系，角的大小关系是角的一个重要性质.角的大小比较，可以定性比较，也可以定量比较.这里特别关注了角的特殊关系，即具有倍数关系的角，由此引出角的平分线概念，进一步还可以提出问题：角平分线有怎样的性质？当然，这是后话.最后是，两个角的和(运算结果)是特殊角时的特殊性，即余角、补角及其性质.

通过学习，学生在如何发现和提出几何性质上积累了一些数学活动经验.例如，从角的特殊的大小关系入手，发现值得研究的角平分线问题，进而提出角平分线有什么性质、如何画角平分线等问题；从运算结果的特殊性入手，发现两个角的“互补”、“互余”关系，进而提出它们有怎样的性质；等等.

(4)小结

归纳起来，角的研究内容与路径是：现实背景——定义——度量——性质——角的特殊关系(特例).

从上述分析可见，对于角这个基本几何图形，虽然它非常简单，但如果我们能提高教学观点，从引导学生感悟数学基本思想、积累数学基本活动经验，提升学生的数学学科核心素养，特别是从发展理性思维、提高发现和提出问题的能力等与创新思维有关的方面加强思考并作出相应的内容解读，那么就可以通过适当的教学设计和实践，引导学生体验研究一个几何对象的内容、过程、方法等，逐渐学会有逻辑地思考、创造性地思考，这才是几何课程应该追求的教学目标.

3 “相交线”的教学解析

3.1 “内容的教学解析”应解析什么

从数学角度看，“相交”是两条直线的位置关系，它的性质表现在两条直线相交所得的四个角的位置关系(即邻补角、对顶角)、大小关系(即邻补角互补、对顶角相等).因此，从知识的表现形式看，“相交线”的内容确实是简单的.

然而，如果从数学育人的角度看，从以内容为载体发展学生的数学学科核心素养(主要是发展学生的科学精神和理性思维)的需要考虑，上述对内容的解读是不够的.到底该如何解读呢？这里我们先引用傅种孙先生在《高中平面几何教科书》(1933年由北师大附中算学丛刻社出版)序言中的一段话：

几何之务，不在知其然而在知其所以然；不在知其所以然，而在何由以知其所以然？读定理，既知其然；有从而证之，以见其所以然.若此所谓证者，仅口得而传，心不得而求，则此流传二千载，用遍五大洲之十三章经(即《几何原本》)，亦特教员专利之秘方耳，曷足贵哉？……本书……欲启发学者，示以思维之道耳.

傅先生不愧是无与伦比的数学教育大家，区区百余字就把“几何之务”阐释得透彻见底.据此，只有以“何由以知其所以然”为定向，把数学的“思维之道”——数学地认识和表达事物的思想和方法阐释清楚，也就是要把内容所蕴含的数学思维方式解读出来，我们才能看清楚教学内容的育人价值，才能为“教思维”、“使学生学会数学地思考”奠定基础.

3.2 “相交线”的教学解析

(1)关于“相交线”定义的解读

如何理解“相交线”的定义方式呢？“相交”是两条直线的一种位置关系.为了解读清楚“基本图形的位置关系”的定义方式，我们不妨把视野放大一些，看一下空间直线、平面的位置关系的定义：

空间两条直线的位置关系：

直线与平面的位置关系：

直线在平面内——有无数个公共点；

直线与平面相交——有且只有一个公共点；

直线与平面平行——没有公共点.

两个平面之间的位置关系：

两个平面平行——没有公共点；

两个平面相交——有一条公共直线.

上述定义的共同特点是，先从有没有公共点以及公共点的个数上进行定义，当仅从公共点角度不能确定位置关系时，再从“公共直线”上进行定义.

我们知道，点是0维的，是直线、平面的基本组成元素；直线是1维的，是平面的组成元素；平面是2维的.“公共点”、“公共直线”都是几何图形组成元素的一种相互关系.由此我们可以归纳出空间基本图形位置关系的定义方式：

通过基本图形组成元素的相互关系定义它们的位置关系.

基于上述分析，教学设计时，应创设问题情境，引导学生体验“通过两条直线的组成元素(点)的相互关系(有且只有一个公共点)定义它们的位置关系(相交)”，这就是内容所蕴含的数学思想和方法.

顺便说明，因为一个几何图形的组成元素的维数一定低于这个几何图形的维数，所以在定义几何图形或图形的关系时，我们总是“用低维定义高维”.

(2)关于“相交线的性质”的解读

图1

相交线的性质到底说了什么？如图1，任意画两条相交的直线AB与CD，它们的公共点为O.

∠AOC与∠COB有一条公共边OC，它们的另一边互为反向延长线，称具有这种关系的两个角互为邻补角；∠AOC与∠BOD有公共顶点O，∠AOC的两边分别是∠BOD的两边的反向延长线，称具有这种关系的两个角互为对顶角.邻补角互补；对顶角相等.

可以看到，任意两条直线相交都形成4个角，这些角之间确定的位置关系、大小关系就是相交线的性质；而角与角之间的关系，是指角的组成要素即顶点、边之间的相互关系.如果把这4个角叫做两条直线相交所确定的几何要素，那么我们就可以得到如下一般性结论：

几何要素之间确定的位置关系、大小关系就是几何图形的性质.

显然，上述结论属于数学中的一般观念(big idea)，对于发现和提出几何性质具有指导意义.我们认为，这种“一般观念”与数学学科核心素养是更加“接近”的.数学教学中，应当以简单的几何图形(直线、三角形、四边形和圆等)为载体，不断引导学生运用上述一般观念去发现几何图形的性质，促使他们逐步领悟其中的数学思想，积累研究几何图形、图形之间关系的经验，这就是落实数学学科核心素养的过程.

(3)接下来研究什么？

在两条直线相交的位置关系中，“互相垂直”是一种“特例”.因为垂直与点到直线的距离相关，而度量是数学的核心问题，所以在研究了一般的相交关系后，一定要研究特殊的相交——两条直线相互垂直.

事实上，对于一类数学对象，无论是几何对象还是代数对象，“特殊情形”往往是重要的.相应的，“特殊化”也是发现和提出问题的重要方法.例如，等腰三角形、直角三角形都是基本而重要的几何图形，在研究了一般三角形后，通过“边的特殊关系”得到等腰三角形，再特殊化得到等边三角形，通过“内角取特殊值”得到直角三角形.四边形——平行四边形——矩形——菱形——正方形，棱柱——直棱柱——正棱柱——正方体，都是通过不断“特殊化”而得到的研究对象.

对于特殊的图形或图形之间的关系，在给出定义之后都有“判断”和“性质”两个基本的研究内容.所以，研究两条直线互相垂直这一特殊的位置关系时，要循着“定义——判定——性质——应用”的路径展开.其中，定义、判定和性质分别给出了两条直线相互垂直的充要条件、充分条件和必要条件.

在欧几里得《几何原本》中，两条直线相互垂直是作为最基本定义给出的：当一条直线和另一条直线交成的邻角彼此相等时，这些角的每一个叫做直角，而且称一条直线垂直于另一条直线[注]欧几里得. 几何原本，兰纪正 朱恩宽，译. 西安：陕西科学技术出版社，1990，第1页..现行人教版初中数学教材将垂直作为相交的特例，并以“当∠AOC=90°时，我们说两条直线互相垂直”的方式呈现.显然，这是一种简化的处理方式.由上所述可得两个判定定理：两条直线相交所成的角为90°，或两条直线相交所成的邻角相等，那么它们相互垂直.

下面我们重点看性质.如图2，以平面内两条直线a，b相互垂直为前提条件.根据前面对几何性质的理解，我们研究平面内的点、直线与直线a，b的位置关系.假设点A是直线a，b外的一点.由“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”得到启发，可以发现和提出问题：

过点A能作几条直线与a垂直？与a垂直的直线与b有什么位置关系？

容易发现：在同一平面内，过点A有且只有一条直线l与a垂直，且l∥b.

图2

进一步地，我们还可以研究点A与a上的点之间的关系.如图2，过A作a的垂线，垂足为B，可以发现：

直线a上，以B为对称中心，任意两个对称点与A的连线段长度相等；连接点A与a上各点的所有线段中，垂线段AB最短．这样就可以定义点到直线的距离：

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.

归纳上述过程，可以得到发现垂线性质的过程与方法：

大前提 直线a，b在同一平面α内，a⊥b.

小前提 点A，直线l在α内，A不在a上.

以“几何要素之间的位置关系、大小关系就是图形的性质”为指导，可以得到：

过点A有且只有一条直线l与a垂直，且l∥

b；垂线段最短，垂线段的长度叫做点到直线的距离.

直线a，b，l在同一平面内，b⊥a，l⊥a，那么b∥l，即同一平面内，同时垂直于一条直线的两条直线平行.

(4)小结

以研究一个数学对象的基本套路为指引，对“相交线”的研究，①研究路径是：现实背景——定义——性质——特例(定义——判定——性质)；②定义相交(位置关系)，要利用两条直线(基本图形)上的点(组成元素)的相互关系(公共点)；③探究性质，就是以相交(位置关系)为大前提，考察4个角的顶点、边(组成角的几何要素)之间的位置关系、大小关系；④垂线(特例)很重要，它是定义点到直线距离的基础，对特例的研究主要解决三个问题，即定义、判定和性质；垂线的性质也是从“几何要素之间的关系”中表现出来的，仍然采用研究几何图形性质的一般思路，以平面内两条直线相互垂直为大前提，考察平面内的点、直线与这两条直线的位置关系.

4 “相交线”的教学设计(问题串)

问题1(1)在“几何图形初步”中，我们学习了基本几何图形的概念.你能举例说明点、线、面、体以及它们的关系吗？

(2)回顾“角”的研究过程，我们研究了角的哪些内容？是按怎样的路径展开研究的？

设计意图：通过回顾，唤醒几何基本概念、基本图形的记忆；通过学生回顾、教师帮助，归纳出研究一个几何图形的“基本套路”.

问题2我们知道，点、直线都是基本的几何图形，直线是由点组成的.在同一平面内，一个点和一条直线有几种位置关系？同一平面内的两条直线，你认为会有哪些位置关系？你能举例说明吗？

设计意图：从已有的认知经验中引发研究课题，使学生感受发现数学问题的内在逻辑，体会提出数学问题的基本方法.事实上，这里的问题是从“平面的组成元素间的相互关系”出发提出来的.

问题3下面先研究相交线.类比角的研究过程， 你认为应该研究哪些问题？可以按怎样的路径展开研究？

设计意图：构建先行组织者，使学生明确研究的内容和过程.教师要通过引导学生思考、讨论，帮助他们确定“定义——性质——特例”的研究思路.

问题4请同学们任意画出两条相交线，并在小组内交换着进行观察.直线由点组成，两条相交线上的点有怎样的位置关系？

设计意图：通过引导学生观察不同的相交线，在“两条相交线上的点有怎样的位置关系”的引导下，得出“有且只有一个公共点”，并给出定义.

学生不一定能独立归纳出共性，教师要加强引导，并适当讲解.

问题5两条直线相交，形成4个角，这4个角的位置关系、大小关系就是我们要研究的相交线的性质.观察自己画出的相交线，你能得到哪些性质？

设计意图：在教师明确提示“4个角的位置关系、大小关系就是相交线的性质”下，让学生自主观察并提出性质的猜想.

说明：我在调研中发现，学生在提示语的指导下，最容易发现的是“4个角之和为360°”.这时，可以作如下追问：

追问1“4个角之和为360°”这个结论对任意两条相交线都成立吗？

追问2对于任意两条直线，只要它们相交，那么交成的4个角之和一定是360°.那么，其中的3个角有类似的确定关系吗？

设计意图：“4个角之和为360°”没有数学价值，但有思维价值.通过追问1，渗透“性质是同类事物的共性”；通过追问2搭建桥梁，自然过渡到如下问题.

问题6那么，4个角中，两两之间有怎样的位置关系、大小关系呢？

追问14个角两两配对，共有几对？

追问2你认为两个角之间的位置关系到底指什么？

设计意图：引导学生得出4个角两两配对有6对.对于追问2，学生可能一时回答不了，教师可以在学生思考的基础上，直接进行如下讲解.

教师讲解：由角的定义可知，角有顶点和边两个要素.研究两个角的位置关系，就是研究两个角的顶点、边的位置关系.对于∠AOC与∠COB，它们的顶点重合；OC是公共边，这时称它们“相邻”；另一边OA，OB互为反向延长线，所以两个角“互补”.用几何语言准确表达即为邻补角的定义：∠AOC与∠COB有一条公共边OC，另一边互为反向延长线，即它们互补，具有这种关系的两个角，互为邻补角.

追问3你能类比上述过程，研究其余5对角的位置关系吗？

设计意图：让学生类比∠AOC与∠COB位置关系的研究过程，对其余5对角的边的位置关系进行自主探究，并作出分类，得出对顶角的定义，再得出：相交线所成的4个角中，两两之间的位置关系，根据两个角的边之间特殊的位置关系，分成两类，一类是邻补角，一类是对顶角.这样的设计关注了过程与结果的融合，直观想象、数学抽象等素养都能得到落实.

问题7前面已经研究了两条直线相交所成6对角的位置关系，可以分为两类.那么，邻补角、对顶角分别有怎样的大小关系呢？

追问从一些具体图形中可以发现“对顶角相等”，但对顶角有无数个，你能设法说明任意两个对顶角都相等吗？

设计意图：让学生通过观察、实验发现“对顶角相等”，再通过追问让他们感受证明的必要性，教师在此基础上给出规范书写.

问题8对于一个数学对象，在研究了它的一般情形后，往往要看看是否存在值得研究的特殊情形.相交线中，你认为什么情况是特殊的？

追问1对于两条直线相互垂直，你认为应研究哪些内容？按怎样的路径展开研究？

追问2在两条直线相交的基础上，你认为应如何定义垂直？

设计意图：让学生通过在相交基础上定义垂直，即4个角中有一个角为直角或邻角相等，体会通过“特殊化”得到特例的方法.

追问3从垂直的定义出发可以判定两条直线是否相互垂直.除此以外，你还能找到别的判定方法吗？

追问4设直线a，b在同一平面内，在a⊥b的条件下，平面的组成元素(点、直线)与a，b的确定关系，就是垂线的性质.类比“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”，过平面内不在a上的点A，能作几条直线与a垂直？这样的直线与b有什么关系？

设计意图：先明确“什么叫垂线的性质”，再让学生通过类比研究性质.在此基础上给出直线的垂线段性质和点到直线的距离的定义.同时，由此引导可以得出“同一平面内，同时垂直一条直线的两条直线平行”的性质.

5 总结

对于“相交线”这么一个“很简单”的内容如此大动干戈，有人可能认为“不必要”，甚至会说是“简单问题复杂化了”.但我的观点是：在简单的地方要讲清楚，在基础的地方要舍得花力气，当然要有智慧地用力(否则就是卖苦力了).为此，我们首先必须懂得如何用数学的方式分析中学数学课程里每一个数学对象的研究套路，这是“用数学的方式育人”的前提.事实上，所有的科学问题在本质上都是简单而有序的.人类的智慧表现在用简单的概念阐明科学的基本问题，用相似的方法解决不同的问题，而数学的方法就是这样的基本方法.平面几何中，研究对象多种多样，但研究的内容、过程和方法是一脉相承的，正所谓“研究对象在变，研究套路不变，思想方法不变”.因此，每一种几何图形或图形关系的教学，我们都应该以“研究一个几何对象的基本套路”为指导，设计出体现数学的整体性、逻辑的连贯性、思想的一致性、方法的普适性、思维的系统性的系列化数学活动，引导学生通过对现实问题的数学抽象获得数学对象，构建研究数学对象的基本路径，发现值得研究的数学问题，探寻解决问题的数学方法，获得有价值的数学结论，建立数学模型解决现实问题.特别是，我们要把如何抽象数学对象、如何发现和提出数学问题作为教学的关键任务，促使学生通过一个个几何对象的研究，体悟具有普适性的数学思想和方法，逐步掌握解决几何问题的那个“相似的方法”，进而逐步形成“数学的思维方式”.