对顶角不一定相等是命题吗

浙江省临海市外国语学校(317000) 严正德

对于“对顶角不一定相等”是否是命题的问题,向学生说清楚就可以了,本不该在此讨论.但笔者碰到的实际情况,还是促使笔者写几句.

1 起因

去年上网课时,笔者所教学生的作业本是由浙江省中小学教材审定委员会审查通过,浙江省教育厅教研室于2019年11 月编写,浙江教育出版社出版的《数学七年级下①作业本》,在第5 页有一个“对顶角不一定相等”是否是命题的判断题[1].学生几乎全回答是命题,笔者都予否定.有几个学生回复笔者:“对顶角不一定相等”已做出了判断,命题有真有假,只不过它是假命题,所以它是命题.学生是怀疑笔者一时疏忽没分清真假命题而直接判断对错.针对这种情况,笔者在家长群上回复:“判断一件事情的语句叫命题.对顶角相等,或对顶角不相等都是命题.而‘不一定’没有做出判断,如张三不一定是李四杀的,怎么判断李四有罪还是无罪? 所以‘对顶角不一定相等’不是命题.”但有部分学生还是没有信服.当笔者拿到参考答案时,看到答案与笔者的结论相反,才知学生为什么那么一致地说它是命题.

2 疑惑

浙江省教育厅教研室组织专家编写的答案与笔者的结论相反,不得不引起笔者的疑惑,我真的错了吗? 于是请教其他教师,有几位数学教师开始都说“对顶角不一定相等”是命题,笔者谈了自己的上述理由后,他们也感到疑惑,但笔者说出参考答案后,大多数就认为还是听专家的.笔者又请教一位中文教师(他对“判断”的理解可能比较深),一番争辩后也不能确定对错,于是他提议网上查.百度查“对顶角不一定相等是命题吗? ”答案唯一:“当然是个命题,这句话是个判断语句,是命题.当然,这句话是错的,是个假命题.”但笔者仍感疑惑.

3 辨真

为了搞清楚对错,笔者继续寻找能说服自己的理论依据,终于在后来拿到的(对我们数学教师来说是权威的)教师用书的第26 页至27 页找到:“命题是判断一件事情的句子,任何一个判断,或者是真的或者是假的.因此,命题就是肯定一个事物是什么或者不是什么,不能同时既肯定又否定.”[2]对照前一句理解是:这里的“任何一个判断,或者是真的或者是假的.”就是说一个判断要能判定对或错,不能模棱两可,“不一定”这个词不能起到判断对或错的作用.对照后一句理解是:“一定”是肯定,“不”是否定,“不一定”就是典型的既肯定又否定,所以“对顶角不一定相等”既不是肯定对顶角相等也不是否定对顶角相等,它不是判断语句.于是“对顶角不一定相等”不是命题最终得到辨真.

4 从证明角度再辨

笔者以为上述已经说明“对顶角不一定相等”不是命题了,再与一位知名教师探讨,他说这句话是有问题但请教专家说还是命题.因此笔者从证明的角度再辨:一个命题是可以用推理的方法证明它是真命题或是假命题,暂时没法证明的叫猜想.用举特例的方法可以用来证明假命题但不能用来证明真命题.例如,“已知圆O的半径为3,点A,B在圆O所在的平面内,如果AO=AB= 2,那么点B一定在圆O内.”这是命题,可以举反例证明它是假命题.“已知圆O的半径为3,A,B在圆O所在的平面内,如果AO=AB= 2,那么点B不一定在圆O内.”这句话看起来是对的,那它是真命题吗? 怎么来证明? 也是举反例吗? 所以它不是数学中的命题.说“对顶角不一定相等”是假命题,怎么来证明? 你举对顶角能相等的例子就能证明不一定相等是错了吗? 相等能否定不相等,但相等不能否定不一定相等.所以“对顶角不一定相等”不是数学中的命题.

5 认为是命题的原因分析

为什么有那么多的学生和中学数学教师,还有一些专家都认为“对顶角不一定相等”是命题呢? 究其原因,是他们把语句的对错误以为是命题的真假.如“昨天(笔者所在地)不一定下雨”这句话是错的,因为昨天下没下雨已经知道,昨天下雨这句话是错的,昨天没下雨这句话也是错的.“明天(笔者所在地)不一定下雨”这句话是对的,因为明天下不下雨还不知道,明天下雨这句话是对的,明天不下雨这句话也是对的.但这两句话都没有做出判断,即肯定下雨或不下雨,所以都不是命题.“对顶角不一定相等”这句话是错的,因为已经知道对顶角是相等的.但这句话没有做出判断,即肯定对顶角是相等或不相等,所以它不是命题.因此,不能把语句的对错看成命题的真假.

6 建议

根据文[2]第27 页“教学中关于区分什么是命题,什么不是命题,可以结合学生已经学过的一些具体例子说明,让学生了解就可以了,不必深究.”[2]本题就是太深究了,超出了七年级学生现在的理解力,甚至给许多数学教师带来困惑.所以笔者建议删除这一题,或把“一定”删掉,改为“对顶角不相等”是否是命题.