基于波利亚解题理论的极值点偏移问题教学案例

广东省广州市华南师范大学(510631) 黄丽纯 黄诗尹

1 教学背景

函数是贯穿高中数学课程的主线,而导数是研究函数基本性质的重要工具.历年来,函数与导数常以压轴题的形式出现在高考数学中,而“极值点偏移问题”自2010年出现于天津高考理科卷以来,一度成为函数与导数知识板块的热门考点.

对于初次接触该类问题的学生而言,理解极值点偏移问题“是什么”以及“怎么做”存在较大困难.为了帮助学生掌握解决极值点偏移问题的通性通法,解决学生知其然而不知其所以然的问题,本文对此专题进行教学设计,旨在为一线教师上好极值点偏移问题的第一课时提供参考,为学生有效理解并掌握此类问题提供学习资源.

2 教学理念

本节课分为两大部分:极值点偏移的含义和解决极值点偏移问题的通性通法.

根据何小亚(2012)[1]提出的有关数学概念形成的理论,学生获取“极值点偏移的含义”的方式是“概念的同化”,故本节课基于学生已有的“函数的极值与导数”的认知结构进行教学,以便于学生接纳新知,建构良好的“极值点偏移含义”的认知图式.

为深度探究极值点偏移问题的求解策略,剖析解决问题的思路来源,本节课根据波利亚的“怎样解题”理论[2]设置问题串,引导学生运用已有知识探索问题解决的方案,为学生掌握解决极值点偏移问题的通性通法搭建“脚手架”.

3 设计的创新之处

3.1 选题有价值

极值点偏移问题既是热点,也是难点,对于提升学生对函数与导数知识板块的理解有重要作用.近年来,关于“极值点偏移问题”的文献层出不穷,大多数学者热衷于研究此类问题的题设形式、解题策略,但对于应如何进行极值点偏移问题的专题教学,却少有学者进行研究.因此,以极值点偏移问题为选题,创新教学设计并开展课堂实证,具有创新价值.

3.2 与技术结合

本节课的设计充分使用现代信息技术,借助GeoGebra软件,引导学生主动参与并感性认知极值点偏移问题的特点,进而发现并探究解决问题;利用智慧课堂教学系统,鼓励学生面向全班进行展示讲解,深化学生对知识的理解,开发学生的创新潜能.

4 教学设计

4.1 教学目标

(1)理解极值点偏移问题的含义,掌握解决极值点偏移问题的通性通法;

(2)灵活运用导数的相关知识,掌握不同函数类型的极值点偏移问题求解策略;

(3)培养发现问题、解决问题的能力,渗透数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养.

4.2 情意基础

高二阶段学生普遍具有较强的学习自主性.善于思考,乐于探究,但仍有不少学生对数学学习存在信心不足和畏难的现象.据此,本节课通过学生动手绘图,直观感知极值点偏移的特点,总结极值点偏移的含义、类型及基本性质,帮助学生从具体实例中掌握一般性的数学概念.通过层层递进的问题串这一脚手架,引导学生一步步探究解决此类问题的通性通法,帮助学生完成知识生成过程,实现感性认识向理性认识的飞跃.

4.3 教学重难点

重点:极值点偏移的含义、解决极值点偏移问题的通性通法;

难点:解决极值点偏移问题的通性通法.

4.4 教学方法与手段

引导探究法、问题驱动法

4.5 教学过程

4.5.1 情境引入

【任务1】用GeoGebra 软件画出下列函数的图像,观察图像的特点.

(1)f(x) = (x-3)2-2;(2)f(x) =xe-x(2010年天津高考);(3)f(x) = (x-2)ex+(x-1)2(2016年全国Ⅰ卷理科).

图1

图2

图3

【问题1】求出函数的极值点x0,并比较函数图像在极值点两端的变化快慢情况.

【问题2】在所得图像中画出一条垂直于y轴且与函数f(x)有两个交点(分别为x1,x2,且x1＜x2)的直线l,并比较x0与的大小关系.

图6

【问题3】结合问题1 与问题2,你发现了什么?

设计意图:通过绘图,观察三个函数图像在极值点x0两侧的变化快慢特点,即当x0=时,极值点x0左右两端函数变化快慢一样;当x0＜时,极值点x0左端图像变化快于右端;当x0＞时,极值点x0右端图像变化快于左端.从而帮助学生从直观上感受“极值点偏移”的含义,获得感性认识,为接下来进一步分析“什么是极值点偏移”奠定思维基础.

4.5.2 新知探究

【问题4】 如图4 所示,当x0=(即函数f(x)关于直线x=x0对称)时,x0左右两端到其距离相等的点对应的函数值有何大小关系?

图4

图5

表1 极值点偏移问题中的大小关系

此时,我们称极值点x0相对于中点发生偏移,简称“极值点偏移”.

【问题6】极值点偏移有哪些类型?

分析:以极小值点的偏移为例,若x0＜,则称为极值点左偏,如图7;若x0＞,则称为极值点右偏,如图8.

图7

图8

设计意图:通过层层设问,比较函数值f(x0+x) 和f(x0-x)的大小关系,理解并掌握极值点偏移的含义和基本性质.

【问题7】如何证明极值点偏移问题?

设计意图:为接下来通过具体例题深入学习极值点偏移问题的证明方法做思维准备.

4.5.3 例题精讲

【例题】 (2010年天津卷理第21 改编) 已知函数f(x)=xe-x(x ∈R).

(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和极值;

(ⅠⅠ)若x1/=x2,且f(x1)=f(x2),证明:x1+x2＞2.

分析:通过第(Ⅰ) 问的求解可知函数f(x) 的增区间为(-∞,1),减区间为(1,+∞),f(x)有极大值f(1) =无极小值.第(ⅠⅠ)问是典型的极值点偏移问题,教学难点在于学生初次接触此类问题,不懂得如何根据极值点x0构造并运用差函数F(x)=f(x0+x)-f(x0-x)来解决问题.在此,本次教学基于波利亚解题理论设置问题串,以突破重难点.

教学过程 设计意图弄清问题 【问题8】有哪些已知条件? 要证明什么?找出已知数与未知数之间的联系【问题9】可以怎样变换x1+x2 ＞2 的形式?【预设1】x1 ＞2-x2.【追问9.1】x1,2-x2 的取值范围分别是多少?【追问9.2】在此不妨设0 ＜x1 ＜1 ＜x2 ＜2,那么0 ＜2-x2 ＜1.根据函数f(x)在区间(-∞,1)上的单调性,f(x1),f(2-x2)有何大小关系?【追问9.3】如何证明f(x1)＞f(2-x2)?【问题10】回到要证明的问题,除了第一种变换方式外,还有其他变换方式吗?【预设2】x1+x2 2 ＞1.【追问10.1】注意到1 是f(x)的极大值点,要证x1+x2 2 ＞1,就是要证明什么?通过分析法将自变量不等关系的证明转化为函数值不等关系的证明,第一次变形转化后学生遇到证明瓶颈,根据波利亚解题理论中强调的“你能不能

images/BZ_47_537_432_944_679.png图9师生活动:运用GeoGebra 软件再次绘制函数f(x)=xe-x 的图像(如图9 所示),以验证学生的猜想.【问题11】观察图像,联系前半节课所学的知识,函数的极大值点1 发生左偏,其左右两边的函数图像有哪些特点?【追问11.1】如若证明了f(1+x)＞f(1-x),是否可以证明x1+x2 ＞2?【追问11.2】应如何证明f(1+x)＞f(1-x)?用不同的方法重新叙述它? ”,引导学生对原不等式再次变形转化.通过不等式证明的基本思路(作差法),学生体会差函数的来源,有效梳理求解策略,完成求解计划的拟订.实行计划教师板书示范解题过程(ⅠⅠ)解:构造函数F(x)=f(1+x)-f(1-x)= (1+x)e1+x - (1-x)e1-x ,(x ＞0)则F′(x)=x( 1 e1-x - 1 e1+x)∵x ＞0 ∴F′(x)＞0 恒成立,∴F(x)在(0,+∞)上单调递增,∴F(x)＞F(0)=0恒成立,即f(1+x)＞f(1-x)对x ∈(0,+∞)恒成立,又∵x1 /=x2,不妨设x1＜x2,由(1)知x1 ＜1 ＜x2,∴f(x1)=f(x2)=f[1+(x2-1)]＞f[1-(x2-1)]=f(2-x2),又∵x1 ＜1 ＜x2 ∴x1,2-x2 ∈(-∞,1),而f(x)在(-∞,1)上单调递增,∴x1 ＞2-x2 ∴x1+x2 ＞2,得证.教师展示规范的解题过程,完成计划.总结求解策略求解极值点偏移问题的一般步骤(要点:构造函数,两次单调):(1)求出函数f(x)的极值点x0;(2)构造函数F(x)=f(x0+x)-f(x0-x)(注意函数F(x)的定义域);(3)由F(x)的单调性确定f(x0+x)与f(x0-x)的大小关系;(4)由f(x1)=f(x2)=f[x0+(x2-x0)]＞(或＜)f[x0-(x2-x0)]=f(2x0-x2),得到f(x1)与f(2x0-x2)的大小关系;(5)结合f(x)的单调性得到结论.教师重新梳理求解策略,加深学生的理解.

4.5.4 巩固提升

【练习】 设函数f(x) = ex -ax+a(a ＞0),若存在x1,x2且x1/=x2,满足f(x1)=f(x2).

(Ⅰ)求f(x)的极值;(ⅠⅠ)证明:x1+x2＜2 lna.

【变式】将(ⅠⅠ)改为证明:＜0,该如何证明?

分析:练习的设计旨在帮助学生巩固所学内容,同时实现思维提升.练习中的第(Ⅰ) 问可求得x= lna为函数f(x)的极小值点;第(ⅠⅠ)问要证明的是函数f(x)的极小值点x= lna右偏,运用上述求解策略可完成证明,但与例题相比,本题含有参数a,抽象性更高,更具一般性.

另外,变式的设计旨在帮助学生积累更多极值点偏移问题的题设形式,从而帮助学生在巩固已学的同时,建构更为系统全面的“极值点偏移问题”的认知结构.变式等价于证明而由第(ⅠⅠ)问中可知f′(x)=ex-a为R 上的单调递增函数,且＜lna,故得证.

4.5.5 课堂小结

【问题12】本节课你有何收获?

4.5.6 课后作业

(1)(2013 湖南文)已知函数f(x) =,证明:当f(x1)=f(x2)(x1/=x2)时,x1+x2＜0.

(2)已知函数f(x)=ex-ax有两个不同的零点x1,x2,其极值点为x0.

(Ⅰ)求a的取值范围;(ⅠⅠ)求证:x1+x2＜2x0;(ⅠⅠⅠ)求证:x1+x2＞2;

5 教学反思

5.1 合理评估把握教学容量

极值点偏移问题题设形式多样,解法变化万千,难度较大,教师应该合理评估学生的思维水平,对第一课时的教学内容安排不宜过满,以免学生因初学时课堂节奏过快而对此类问题产生畏难情绪.

从实际上课效果来看,即便对于广州市重点中学重点班的学生,在理解极值点偏移问题的含义后,也只能在课上学习完成一道例题和一道练习,对于其他题设形式和解法,需留到下一课时再逐步突破.

5.2 层层递进突破思维难关

教师应该引导学生从已有知识出发,分步解决问题.既可以利用综合法,借助函数图像的性质来构造新函数,从而得到不等关系式;也可以利用分析法,从所要证明的式子出发,通过变形和等价转化,推导出所需满足的条件.本节课的教学采用了对例题设置问题串的方式,将解题思路分解成多步,以便于学生深度学习解决极值点偏移问题的通性通法.

从作业情况来看,大多数学生都采用了课上讲解的解题步骤来完成解答;此外,部分基础较好的同学不局限于通性通法,还会借助函数图像的特殊点与基本性质等方法解决问题,整体上作业的完成情况是较好的.

5.3 善学善用熟练技术操作

本次授课的班级使用了畅言智慧课堂教学系统.本节课的教学采用了智慧课堂与传统课堂相结合的模式,其中涉及到信息技术的有:一是教学内容上,在引入环节学生通过Geogebra 软件绘制三个函数图像,从直观上初步感受极值点偏移问题;二是课堂互动上,教师借助“学生讲解”功能,使得学生可以向全班展示其学习作品,并进行讲解;三是课堂管理上,教师利用“随机点名”、“屏幕广播”、“锁屏”等功能,有效地维持课堂纪律,提高上课效率.

在实际的授课过程中,由于师生对信息技术还不够熟悉,可能会出现课上短暂的停顿等影响教学进度的情况.因此师生应该有意识地挖掘并熟悉智慧课堂系统里常用功能的技术操作,在合适的时机使用,使信息技术的效益最优化.

6 总结与展望

在本节课的设计与实施中,我们利用信息技术、借助Geogebra 软件,使得学生对极值点偏移的含义有了直观的认识;以及结合波利亚解题理论,设置问题串进行探究,总结出了解决极值点偏移问题的通性通法.在今后的教学中,仍需积极探索信息技术与数学教学整合的模式,提高课堂效率,从而提升课堂教学效果.

此外,对于此类难度较大的专题教学,用好基本模型,练熟常规方法,悟透基本思想至关重要.应让学生在课上知其然,也知其所以然,从而能够在课堂之外,借助已学的解题思想和方法解决其他相似的问题.

例(拐点的偏移问题) 设函数f(x) =a2x -2aln(ax)(a ＞0),A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是f(x)的图像上不同的两点,且满足f(x1)+f(x2)=0,证明:x1+x2＞