模型思想的内涵、分类与建立要点

王强国

（宝应县实验小学，江苏 扬州 225800）

2011年版“课标”给出的十个核心词中，只有“模型”以“思想”指称，其余均以“能力”定位。这表明一个观点：模型思想是数学基本思想之一。相对于其他的核心词，模型思想是小学教师最陌生、前认知最少的一个概念，大多数的小学教师在校学习期间或在职培训中，从未接触过“数学建模”课程，从未参与过数学建模活动。因而，小学教师对模型思想的认识颇为有限。认知的不足、经验的匮乏，导致教学时模糊不清，影响课程目标的落实。

一、模型思想的内涵解读

（一）课标中的阐述

“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生形成初步的模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。”[1]2011年版“课标”阐述中包含三层内容：模型思想的主要功能；数学建模的简要过程与表现形态；形成模型思想的其他作用。表述中，模型思想的“主要功能”与“其他作用”，没有一起呈现，而是放在一头一尾分开讲述。细细研读，撰写者的良苦用心可见一斑。第一句话是建立模型思想的教学定位，尽管模型思想在现代化进程中非常重要，但在义务教育阶段，它主要是“学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径”。第二句话是对数学建模过程的刻画，删繁就简，突出了它的三个主要环节。同时，也间接表明了这里采纳的是数学模型的狭义解释。第三句话进一步指出，这些过程性内容的学习，只是“有助于”学生“初步”形成模型思想，旨在“提高学习数学的兴趣和应用意识”，还不是真正建立模型思想，更谈不上“数学建模能力”的提升。[2]

（二）实践中的诠释

1.功能说

主流地位的诠释如：“建模是学生数学学习的一种新的方式，它为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体会数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识；有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力。”[3]类似这种诠释的学者，他们紧扣素质教育的两个重点目标：培养学生的创新意识和实践能力，倾向于模型思想是最能体现学科价值的数学素质之一的观点。本次课程改革，其初衷是“深化素质教育”“完善学生的学习方式”，实施中，在强调过程教学的同时，开辟了新的课程形态“研究型课程”，并在学科教学中设立综合实践活动。当下提出的模型思想，只是给这些泛学科的一般性要求中注入数学的学科内涵[4]。

2.过程说

有学者认为，数学建模一般要经历“模型准备——模型假设——模型求解——模型运用”的过程。其中，模型准备是起点，从现实生活或具体情境中抽象出数学信息，对问题进行必要的简化；模型假设是根据现实原型对象的特征，结合已有知识和生活经验，提出假设，确定数学建模的方向或初步思路；模型求解是针对问题特点和建模目的，找出合理、简化的解决办法；模型运用是借助模型求出结果，并解释它在现实问题中的意义。[5]

叶其孝教授将数学建模的过程归纳为七个步骤：（1）对某个实际问题进行观察、分析；（2）对实际问题进行必要的抽象、简化，做出合理的假设；（3）确定模型建立中的变量和参数；（4）根据某种“规律”建立变量和参数间确定的数学关系；（5）解析或近似地求解该数学问题；（6）验证结果是否正确；（7）如果上一步的结果是肯定的，则建模完成，如果是否定的，则返回到第（1）步重新进行分析，重复上述建模过程。“如果要对数学建模下个定义的话，那就是：数学建模就是上述七个步骤的多次重复的过程。”[6]叶教授如是说。

“过程说”围绕模型的建立过程展开，与课改之初提倡的“吃全鱼”的教学主张有相通之处。在小学数学教学中，许多时候可能只能或者仅需展示数学建模的简要过程。

上述两种诠释或多或少地秉持教学论的观点和语言来解释。如果从模型思想数学学科层面来解读，我们会发现模型思想具有本质化的思想，能使我们对数学的本质，尤其是数学应用的特点与过程，获得更为全面、深刻的理解，同时，也能丰富我们对数学问题解决的认识。

二、数学模型的分类举隅

关注数学模型的分类，有助于我们系统化、条理化认知模型。在数学界，关于模型的分类还没有像化学元素分类、生物分类那样公认的标准，不同学者基于不同的划分标准给出不同的分法。以下两种分类，对一线教师的建模教学有较强的指导意义。

一是依照事物认识的过程，分为描述性数学模型和解释性数学模型两大类。解释性数学模型反映的是从一般到特殊的认识过程，常运用于数理逻辑和数学基础的研究，小学数学教学中鲜有涉足。而描述性数学模型反映了从特殊到一般的认识过程，它从分析客观事物的具体特征或状态入手，经过逐步抽象得到。把客观事物中量的关系概括于一个数学结构之中，是其主要特征。[7]这种分类对教者的指导价值主要体现在建模思路的引领，从个性到共性，从一个到一类，也体现出模型思想所具有的一般化思维的特点，是小学数学模型思想渗透的常用方式。

二是按照模型对象的特点，分为概念型数学模型、方法型数学模型和结构型数学模型。其中，结构型数学模型是以数学对象为原型，再抽象所得到的数学模型，小学数学中的“鸡兔同笼”等可以看作一种结构模型；方法型数学模型是指数学中的各种公式及运算系统、各类方程及其求解方法等，是由实际对象间量的关系抽象出来的，这在教学中较为常见；概念型数学模型是指数学中的基本概念，如平行、三角形、倍数等，通常由客观事物或现象的直接抽象得到。[8]这种分类对教者的指导价值主要体现在建模共识的达成。即教材中蕴含着大量的数学建模素材，小学数学模型思想的渗透是可行的并且能有所作为！

事实上，数学模型在学术界有两种解释：广义上，一切数学概念、数学理论体系，各种数学公式、各种方程式以及由公式系列构成的算法系统等，都可称之为数学模型。狭义上，只有那些反映特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构，才叫作数学模型。[9]两者都是人类进化和社会发展的产物，不同之处是：前者是“无心插柳”型，起初并没有意识到它是模型；后者是“有心栽花”型，有意识地建构模型，这成为当今应用数学中数学模型的原意。在小学数学教学中，更倾向于狭义上数学模型的渗透与初步建立。

三、模型思想的建立要点

（一）准确定位——模型思想建立的立足点

1.对象的准确定位

（1）基于儿童的生活经验

儿童的数学学习，有两个基础：知识和经验。在日常教学中，对于学生学情的分析，教者习惯于关注学生已经学过哪些相关的知识，即教材内容的逻辑关联，却往往忽视知识之外，学生已经具有的生活经验。这里的生活经验是指儿童在生活中通过亲身经历、体验而获得的对事物的认识与反映，具有自然性、生成性、发展性等不同层面的特点。[10]尊重和承认“生活经验是儿童数学学习的重要资源”，有助于我们更准确地把握学生的认知起点，改变我们的教学方式，继而促进学生学习方式的优化。一般来说，数学的模型皆有其现实的生活背景，在模型思想的建立中，立足儿童的生活经验，将教材上的内容转化为儿童日常生活数学问题的火热思考，有利于学生感受其中隐含的数学问题，促使学生将生活问题抽象成数学问题，从而感知数学模型的存在。[11]

（2）基于儿童的认知特征

一要用儿童的眼光视角观察。对于事物的观察，儿童容易被表面现象所迷惑，难以准确、迅速地把握事物的本质以及事物之间的内在联系。这要求我们在模型的建立中，循序渐进，问题设置要能巧妙引导学生思维，过程中需要及时的正向。二要用儿童的思维方式分析。小学阶段的儿童，思维主要还是以直观形象思维为主，抽象的模型对学生而言理解困难。教学中，应该积极创设生动有趣的情境，激发学生探究的热情，借助直观的学具操作等活动帮助学生感知、建立数学的模型。三要用儿童的语言范式表述。儿童有自己的话语体系，可能不严谨，但却是儿童熟悉的，应该允许儿童适度的“任性”表达。同时，教者本身的语言也应该切合儿童的认知水平。比如“猜想——验证”，这是模型建立中常用的策略，也几乎成为教师的口头禅，但这样的描述过于“数学化”，小学中低年级的儿童，并不能完全领略，高明的教者总是人文关照的口语化：“我们一起来想个办法，让大家相信这个说法……”

2.目标的合理设置

在数学课程标准中，并没有提出具体明确的模型思想教学的目标。作为教者应该有以下的辩证认识：一方面，这符合小学学情，符合小学生的知识水平、能力经验；另一方面，没提要求，不意味着不可作为、无须作为！如前文归纳，小学数学教材中，模型思想建立的知识载体是客观存在的，关键是如何定位。

（1）培育初步的模型意识

纵观现行的各个版本的小学数学教材，内容的分布、习题选择不尽相同，但具体到某一课时的内容编排，会发现相同之处，多以“生活情境——抽象模型——模型验证——模型解释与应用”的方式呈现，这种编排体系为模型意识的培育提供了天然的契机。宏观上，教者可以从整体上用建模的视角去解读教材，充分彰显其中蕴含的模型思想；微观上，可以通过实际问题的数学化与数学问题的生活化引领学生感知模型的存在，在适时的回顾与反思中明晰模型，在实际问题的解决中感受模型的应用价值，从而不断增强数学模型的应用意识。

（2）经历初步的建模过程

数学思想是发展的、动态的，而数学知识是相对定型的、静态的。如果把模型的建立当作唯一追求的结果，那么就可能步入“模型化”的误区，事实上，无论何种模型都不可能解决所有的问题。因而将模型建立过程的体验作为小学数学模型教学的核心目标是学术界的共识。模型思想的渗透与建立过程，从显性来讲，会对学生的解题能力和后续学习产生持续影响；从隐性来讲，会影响学生从事数学以外活动时的思维方式和行为方式。[12]在经历建模与用模的过程中，学生的思维会得以发展，数感、符号意识、几何直观、推理能力、应用意识和创新意识等能得以提高，而这些恰恰是数学学科素养提升的基础。

（3）体验初步的用模乐趣

数学学科有一种特质的美——简洁美。这种美既体现于数学定义与规律叙述的高度浓缩性、公式与法则的高度概括性，更体现于数学学科内在的思想方法的精炼与适用，数学思维的自由与创造。数学模型是体现简洁美的优良载体，用模型视角去观察事物，有助于学生准确迅速地把握事物的本质，提升比较、抽象、概括等能力；用模型方法去思考问题、解决问题，有利于学生举一反三，触类旁通，促进认知结构的新建与重组，在体验用模乐趣的同时，进一步激发学生数学学习的兴趣。

（二）巧妙引导——模型思想建立的着力点

基于数学建模教学的目标定位与对象的认知能力，小学数学教学中，模型思想建立，应该以渗透的方式为主，需要教者巧妙引导，让模型思想浸入学生的数学学习历程。

1.用数学化的眼光观察

数学化其实就是从(数学外部的)现实世界到数学内部，从数学内部发展，再到现实世界中(以及应用于其他学科之中)的全过程。（弗赖登塔尔语）所谓数学化的眼光观察，主要指教师引导学生从具体的教学情境中，准确获取具有建模意义的数学信息，并能运用已有的知识经验进行适度的整理和组织。这种数学化，表面看是一种数学直观思维，实质上更多的指向数学抽象、直观想象，它是学生实现数学建模不可或缺的能力基础。在小学数学教学中，应该结合不同的学段有意识地逐步培养。如苏教版数学教材中有关“圆”的教学，第一学段，我们重点引导学生从实物中抽象出圆，可以出示一组关于圆的实物图片，启发学生思考：你看到了什么？在学生汇报的基础上，教者小结：用生活的眼光，我们看见的是一张张优美的图片，用数学的眼光，我们会看到“圆”……完成生活问题数学化。第二学段，重点研究圆的特征与面积的计算，以“半径的特征”为例，在学生画一画、量一量、折一折的基础上，观察、思考有什么发现，得出“无数条、都相等”的特征，实现数学内部规律化。在认识圆的特征后，可以安排学生解释汽车的车轮为什么设计成圆形而不是正方形、长方形或三角形等，走向数学内容现实化，使学生建立完整的“圆”的概念模型。

2.用一般化的思维概括

一般化的思维，主要指在模型建立的教学中，引导学生从一个问题的解决，拓展为一类问题的解决，并加以推广应用，其中蕴含归纳法的思想，也包含合情推理的成分。这历来是小学数学教学所忽视和欠缺之处，原因一方面是教者低估学生的潜能，对学生的最近发展区认识不力，认为学生理解不了；另一方面，受限于当课的教学内容与时间，这里的“一个问题”，更准确地说，应该是类似的“一个个问题”，必然需要花费较多的时间，加之对建模教学的认知不足，选择放弃。教学中，一般化的处理，还具有由浅入深、逐步逼近问题本质的意蕴，有助于学生形成初步的模型思想。如苏教版数学五年级上册“用字母表示数”教学，出示：一支钢笔a元，3支这样的钢笔多少元？得出3a 元后，教者去除习题，留下“3a”字样，引导学生用自己的语言说一说还可以表示什么？有学生想到如果每支铅笔a 元，那么3支这样的铅笔就是3a元，如果每千克苹果a元，那么3 千克这样的苹果就是3a 元……师生总结：单价×数量=总价。在一般化理念的指引下，可以进一步追问：还可以找到类似这样的关系式吗？学生想到“速度×时间=路程”“工作效率×工作时间=工作总量”……

3.用结构化的视角感知

结构是关系的组合。结构化思维主要指，在建模教学中，面对现实的教学情境，能够去除情境的枝枝蔓蔓，由原型结构抽象出数学结构。这种结构化的认知，有助于学生迅速准确地把握问题的本质，感知数学模型的基本脉络。实际教学中，有两种行之有效的做法：一是抓关键词，连点成线。如苏教版（数学）四年级上册“认识平行”教学。在学生观察、操作的基础上，揭示“像这样不相交的两条直线互相平行”。教者可以设问：同学们，你们觉得这句话中哪些词很重要？学生很快想到“不相交”“两条”“直线”等，这些词就是“平行”概念模型的基本结构。二是立足算理，进行实质性追问。如苏教版数学二年级上册“表内乘法”教学。习题：一幢楼房有7层，每层住6户，一共住了多少户？学生列出6×7 的算式后，我们可以追问：你为什么用乘法计算？学生回答：一共住了多少户，就是求7个6相加的和是多少，所以用乘法计算。还可以追问：你为什么不用加法？在这样的追问中，有利于学生感知乘法模型的存在与应用。

4.用系列化的体例强化

系列化的体例，主要指在模型建立的教学中，当学生初步感知或建立某一数学模型后，引导学生对抽象出的模型进行适度的变式，在比较中，强化模型的结构认知，形成网状的知识结构。教学中，以下两种方式值得借鉴。一是“多题一解”，如苏教版数学五年级下册“圆的面积”教学。在学生形成圆的面积算法模型后，教者安排如下一组习题：（1）一个圆，半径3 厘米，面积是多少平方厘米？（2）一个圆，直径4厘米，面积是多少平方厘米？（3）一个圆，周长25.12厘米，面积是多少平方厘米？练习的过程中，学生会发现，尽管题型有变化，但算法都简化为πr2。二是“一题多变”。可以保持题目中数量和关系，改变情境载体，如“工人师傅铺一段路，前3 天平均每天铺160米，后5天平均每天铺180米，一共铺好多少米？”这样的工程问题，我们可以改为行程问题或者购物问题等，学生通过比较会发现，算式不变，数量关系不变，都可以用字母表示为两个积的和：a×b+c×d=s；此外，我们还可以将一道题中某一条件与问题置换，形成“新”的问题情境，在模型的运用中强化模型的意识。

5.用显现化的方式表征

数学模型无论是思维表征的过程还是形式表征的过程，都需要两个基本的教学过程做支撑。一是从“境”到“型”，通过抽象、归纳感悟理解数学模型的结构化与简约化的特征；二是从“型”到“境”，通过演绎结构，深化理解数学包容性与应用性的特征。[13]学生经历了模型建构过程，初步感知或建立了某一数学模型，此时，教者应该适时地引导学生用显现化的方式表征。这种表征并非简单的重复，其价值一方面是学生对模型结构的强化与清晰化，深化对模型的认知；另一方面也是学生个性化解读与理解的过程，有利于模型的应用与推广。方式主要有两种：一是“可闻”，即让学生用语言表述。“语言是思维的外壳”，学生在语言表述的过程中，必然需要对自己的思维进一步梳理，在个性化的陈述中，实现自主建构。二是基于操作的显现化，这里的操作，不仅包括动手摆弄实物、比划手势、活动肢体等操作学具的活动，还应该包括借助符号、文字和图表等数学语言动手画图、标注、列举等逐步抽象化操作语言的活动。[14]

（三）对比反省——模型思想建立的不竭动力

1.在正例与反例的对比中活化

如前文所述，模型思想的建立通常采用一般化的思维、系列化的体例等逐步实现。这样的处理，为每一类模型提供了数量较多的、与之相对应的、典型的问题，有利于学生模型的感知与建立。缺陷在于，客观上减少了学生在没有提示的情况下自主选择模型的机会，筛选模型的意识会降低。以“方程算法模型”为例，教学中，我们常常遇到这样的尴尬——平时用不到，用时想不到！因此，在建模教学中，需要在正例与反例的对比中，活化模型的选择与应用。如苏教版数学六年级上册“解决问题的策略——替换”教学。在学生充分感知、熟练运用替换的算法模型后，教者出示：“小明原来有一些邮票，今年又收集了24张。送给小军30张后，还剩54张。小明原来有多少张邮票？” 由学生试着解答。短暂的沉默后，学生发现这道题不适合替换。教者追问：“为什么不适合替换，大家觉得可以怎么解决？”学生再次回顾替换模型的题型特征——知道总量以及量与量之间的关系，使用倒推模型解决的同时，学会辩证地看待模型的功能，活化模型的运用。当然，反例的呈现，一定要注意时机的把控，正像没有建立前，尽量不出现反例。

2.在方法与过程的反省中拓展

模型思想的建立，离不开教者的引导，更依赖于学生个体的自主性建构，要求学生对自己的活动过程不断地进行反省，这种反省如同生物体消化食物和吸收养分一样，必须且别人无法代替。在建模教学中，反省主要体现在建模结果与建模过程两大方面。对建模结果的反思主要表现为对模型正确性的验证，如两位数乘两位数的算法模型，在学生建立模型后，可以让学生对计算结果展开验证与解释。小学数学建模教学更倾向于对建模过程的反思，用模型的视角审视模型的建立过程，以拓展学生的模型认知。如苏教版（数学）三年级上册“长方形、正方形的认识”教学，在学生探究出两者的特征之后，教者提问：“同学们，回顾一下刚才的学习，我们是怎么得出它们的特征的？”学生回答出：“先观察长方形纸片，得到猜想，然后通过量、折、比等活动进行验证。”引导学生对学习历程、探究方法的反省。教学中，对研究视角的反省，也应该得以强化，如上述课例，教者安排了让学生从学具袋中（三角形、梯形、长方形各一个）摸出长方形，学生正确摸出后，教者提问：“大家猜猜看，他可能摸的是哪里？”学生思考交流，得出，既要摸边又要摸角，教者适时归纳：“研究一个平面图形，我们通常就从它的边和角两个方面开始。”

综上所述，模型思想有其独特的价值，小学数学教材蕴含大量的建模素材，我们应该拥有建模的眼界，超越素材、情境的表面，捕获其背后的模型，为学生数学学科素养的提升做出自己的努力！▲