测试数学本质，促进深度理解

朱炎

摘要：本文探讨了数学理解测试法的利弊和发展，以期幫助人们更好地理解数学的本质，强化人们的认知能力。

关键词：理解测试   数学本质   方法

2008年，中国学者杨教授和林教授在测试数学本质方面做出了重大的贡献，他们引进了一种几何证明的阅读理解测试。这种方法包含四个层次：第一个层次，是学生需要具备基础的知识;第二个层次，被称为认知元素，是学生应该能够辨认出证明过程中或明确或暗含的知识点;第三个层次，是学生应该明白证明过程的内在逻辑关系;第四个层次，是学生应该内化证明，从而达到运用自如的境界。两位教授一直专注于前三个层次，并称他们的这个模型并不是为了检测学生是否达到第四个层次，而是希望能帮助学生更好地学习。这种被称作RCGP的模型对我们引进深度理解测试十分有帮助，因为它与其他的探究成果不同，以前的研究方向都是数学理解测试的简单运用问题，而RCGP模型已经构成了一套完整的系统，将数学理解测试上升为理论的高度，为我们后续的深入研究打下了坚实基础。

一、深度理解测试方法概述

传统的学习方法往往存在一些问题，如学生吃不透概念的推导，于是采取死记硬背的学习方法。第一，由于学生没有在大脑中形成推理思维，所以这样的记忆效果不理想;第二，课后的作业过多，学生做起题目来不求甚解，只在乎能够按时完成，学生不仅浪费了时间，还没有学到知识;第三，个别题目看起来很简单，于是学生一扫而过，实际做起来却很困难。

因此，教师引进了创新性的数学学习方法——深度理解测试方法。这种方法最早起源于美国，朱莉·康雷迪教授和约翰·费思思教授对这种方法进行了初步探究，但对这一方法的利弊分析和发展蓝图还有待深入研究。深度理解测试方法能够激发学生的学习兴趣，有利于学生更好地掌握知识。在传统教学中，教师往往是给出一道或证明或计算的题目，要求学生解答，而深度理解测试方法是教师同时给出题目和答案，然后根据答案的细节设置更多的问题，且题目按照由易到难的顺序设置，学生需要做的是解答这些问题。这样一来，教师将复杂的数学问题化解为多道阅读理解题，学生就可以循序渐进地测试知识点的掌握程度。

深度理解测试方法能使学生对每道题目有话可说，不会产生无法下手的感觉。在答题时，学生可以复习这些知识点，从而有效测试学生掌握这些知识点的程度，检测出学生数学水平的高低。同时，这种方法能使学生更好地掌握基础知识，在课后温习时加深对知识点的记忆，并将数学题当作阅读理解题，极大地激发学生的学习兴趣。

二、深度理解测试方法举例

一个数如果能表示成4a+1就称作一元数，如果能表示成4b+3就称作三元数，（a，b∈Z），求证命题：存在无数个三元素数。

证明：

步骤1：假设有一个数，它由两个一元数相乘：（4a+1）（4b+1）=

16ab+4a+4b+1=4（4ab+a+b）+1，它也是一元数。

步骤2：同理，任意一元数的积都是一元数。

步骤3：假设命题是错误的，即只有有限个三元素数，假设为C1，C2，……，Cn。

步骤4：使M=4C2……Cn+3，C1=3。

步骤5：M不能整除C2，C3，

……，Cn，余数为3;因为4C2……Cn不能整除3，所以M也不能整除3。

步骤6：我们得出M不能整除任何三元素数。

步骤7：因为M是奇数所以不能整除2。

步骤8：所以M也一定是一元的。

步骤9：但是M很明显是三元数，得出矛盾。

命题得证。

教师可以将这道题目分成多个问题，如①素数的含义？②三元数的特征是什么？③1，3，5，17，33，47，89，199这些数中，哪些是三元数？哪些是一元数？④这道题运用了什么证明方法？⑤步骤5中为什么4C2……Cn不能整除3？⑥步骤6中M为什么不能整除任何三元素数？⑦步骤8中M为什么一定是一元的？⑧520是一元数吗？为什么？

三、例题分析

这道题目给出了两个新概念，考查的却是一些基础知识，有素数、整除等。然而，要做好这道题目，学生需要掌握迅速吸收和处理新信息的能力。

问题①至问题③是最基本的，只是要求学生写出数学中基本概念的定义，另外加了一些原命题的举例，学生很快就做出来了。题目所需要的只是最基本的数学学习能力和概念的运用能力，所以没有什么难度。

对于问题④，学生很快联想到了常用的方法，如分析法、归纳法、反证法等。加之在证明过程中有一句话“假设命题是错误的”，这就提醒我们，这道题目很可能用的是反证法。再看证明结尾是“得出矛盾”，便能确定是反证法。所以说，这道题难度也不大。

然而，问题⑤至问题⑧就不一样了。学生用了较长的思考时间，答案仍然不尽如人意。

问题⑤本来并不难。根据假设可知，从C1到Cn全部都是素数，而C1=3，于是C2……Cn只能分解为素数的乘积，而且没有3，于是C2……Cn很明显不能整除3，于是4C2……Cn不能整除3。一个学生是这样做的：“因为C2……Cn为三元素数的积，可推得两个三元数的积为一元数，可知不能整除。”这种方法十分简便，巧妙地运用了三元数和一元数的两个定义，过程简洁，一目了然。而另一个学生用反证法来解释：“假设4C2……Cn能整除3，则M能整除3，从而C2……Cn也能整除3，M与C2……Cn有公因子3，且C2，……，Cn均为素数，故知3必为其一，矛盾。”这种做法用的是同一种思想，但是过于复杂，耗费了较多的时间。其实，学生只需要很好地把握已知条件，明白什么叫作不能整除3，就能很好地解答问题，所以这道题目解答起来并不复杂。

问题⑥也不难。根据假设我们已经知道，三元素数只有3，C2，……，Cn，已经证明M不能整除，又因为M除以从C2到Cn的任意一个数都会有余数3，所以很明显M不能整除任何三元素数。但学生做这道题目用了很长时间，这看起来很奇怪。仔细想来，还是因为他们没有很好地浏览证明过程，没有跟着证明过程走。看到问题⑥会联想到其他一些东西，比如，会直接考虑M÷（4Z+3）等于多少，这样的思考就过于刻板了，并在这种想法上停留很长时间后，才发现行不通，此时已经浪费了大量时间了。因此，学生要让自己很快地进入证明过程的意境。首先从步骤4和步骤5进行思考，从而很快得出结论。由此可见，这个问题考查的是学生快速学习新知识的能力，尽管看起来并不复杂。

根据前面的许多步骤，问题⑦便能迎刃而解。M不是三元数，也不是二元数，更不会是4的倍数，因为4的倍数能整除2，所以自然是一元的。学生很快解答出来了。

问题⑧则是一道发散型的题目，解法多种多样。问题也可以改成520-1能不能被4整除。但答题时，学生也用了不少时间，可以看出，他们数学的思维不够灵活。实际上，学生既可以将520-1分解为（510+1）（5^5+1）（5^5-1），也可以将520=（4+1）20=4N+1（N为某个整数），还可以将520=

4（5^19+5^18+……+5+1）+1。

四、结语

深度理解测试方法可以减少学生对知识本身的关注，而只注重解答出设置的题目。但是如果学生认为只要将题目做出来就理解了知识点，那么他们就陷入了思维误区。假如问题的设置并不是那么完善，或不能完全检测出知识点的掌握程度，那么这样设置的题目反而会导致学习效果不佳。因此，笔者认为深度理解测试本来只是帮助学生更好地掌握和消化知识点，但如果把它当作唯一的数学方法，就本末倒置了。

深度理解测试方法和其他许多方法一样，存在许多弊端，所以我们应理性地看待它，不能将其视为一种偷懒的方法。同时，深度理解测试方法的确可以帮助学生加深对知识的理解，有助于记忆知识点，但是如果学生太过依赖这一方法，通过大量的练习深度理解测试题目，那么可能不会取得很好的学习效果。因此，要想更好地利用深度理解测试方法，学生必须取其精华，去其糟粕。只有这样，才能最大限度地提高教学效率。

参考文献：

[1]米妍，王光明.整体性数学思维方式视野下的教材阅读——基于章建跃先生对《实数》一章的教材分析[J].数学通报，2017，（10）.

[2]张侨平.西方国家数学教育中的数学素养：比较与展望[J].全球教育展望，2017，（3）.

（作者单位：郑州市商业贸易高级技工学校）