如何学好二次函数

甘肃省金昌市第三中学 金欢欢

《二次函数》是人教版九年级数学在中考时必考的重点章节，是同学们感到难学的内容之一。它里面有如下几个学习目标：①学会求函数的解析式；②学会作二次函数的图像；③学会描述二次函数的图像的性质；④会平移二次的图像；⑤会把函数解析式的一般式化成顶点式。为了能使同学们学好二次函数，会利用好二次函数的性质，本文从以下几方面讨论如何学好二次函数。

一、如何深刻理解二次函数的定义

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c是常数)中有两个变量：x,y，如果先确定了其中的一个变量，就可以利用函数解析式求出另外一个变量，然后就可以得到一组方程解，这样的一组解就对应了函数图像上的一个点的坐标，其实二次函数的图像就是由这样的无数个点组成的。

二、如何深入了解几个特殊的二次函数的图像及性质

1.通过描点，观察函数y=ax2、y=ax2+k、y=a(x+h)2图像的形状及其位置，熟悉这些图像的最基本、最明显的特征。

2.理解函数图像的平移规则，有一个口诀是“括号内左加右减，括号外上加下减”，即y=ax2→y=a(x+h)2+k，“括号外上加下减”是对于k所说的，“括号内左加右减”是对于h所说的。

根据以上内容可知，如果有两个不同的二次函数，若二次项系数正负号相同，则它们的图像开口方向就是相同的。抛物线的平移实质上就是顶点的平移。如果抛物线是一般形式，则应先化为顶点式，然后再平移。平移时要看是在括号内的加减平移，还是在括号外的加减平移。

3.通过描点、连线画图、图像平移，能够理解二次函数解析式的特征与图像的特征是完全一致，我们在解题时要抓住图像的特征，能够通过图像看到函数解析式的基本特征和一些关键数据，能够看到函数就能想象出它的图像的一些特征，这才是数学中数形结合的本质含义。

4.在熟悉了二次函数的图像之后，我们还要通过观察、分析抛物线的基本特征来理解二次函数的最值、单调性、对称性等性质；利用图像来确定函数解析式中的a,b,c以及由系数所组成的代数式的符号等。在遇到一些问题时，我们可以使用特殊值法判断函数解析式的通性，分析这一类函数的图像特征。

三、学好二次函数，要重视“顶点”的作用

1.通过公式法或者配方法能很准确地求出二次函数图像的“顶点”。如函数y=a(x+h)2+k的图像顶点是(-h,k)，对于其他形式的二次函数解析式，我们可将其转化为顶点式，然后再求出顶点。

2.要深刻理解函数图像的顶点、对称轴以及函数的最大（最小）值这三者之间的关系。如果二次函数图像的顶点为(-h,k)，那么二次函数图像的对称轴为直线x=-h，函数的最值y最大（最小）=k；相反，如果二次函数图像的对称轴为直线x=m，y最大（最小）=n，那么二次函数图像的顶点为(m,n)。理解三者之间的本质关系，在分析和解决问题时，就可达到事倍功半的效果。不过这里求函数的最值时有些时候要考虑自变量的取值范围，这也是学习二次函数的一个难点。

3.利用二次函数的顶点、对称性等特殊已知条件画出抛物线的草图。在众多情况下，我们可以根据抛物线的顶点，结合开口向上还是开口向下，画出抛物线的即草图，这样能帮助我们更容易地分析和解决问题。

四、如何理解二次函数所对应方程的解的问题

一般来说，我们在求二次函数的图像与坐标轴的交点时，可先确定坐标中的其中一个量，再利用解析式求出坐标中的另外一个量。如果方程无实数根，那么说明抛物线与x轴无交点。

求二次函数图像与坐标轴x轴的交点问题其实就是求抛物线所对应的方程的解。结合求解方程的根的方法，利用判别式的值来确定抛物线与x轴到底有几个交点。

五、如何求二次函数的解析式

求二次函数的解析式，我们常用的方法就是待定系数法，求解析式时可以选择不同的解析式。假设已知三个点的坐标，就可将函数解析式选择为一般式；假设已知函数图像的顶点和任意一个坐标，就可将函数关系式设为顶点式；如果已知函数图像与x轴的两个交点，我们可以设函数解析式为交点式。在计算过程中可以综合利用二次函数的图像与性质，采用数形结合的思想综合计算分析，这样对于我们的计算是可以简化的。

例1：在平面直角坐标系内，二次函数图像的顶点为A（1，-4），并且过点B（3，0）。

（1）求该二次函数的解析式；

（2）将该二次函数的图像向右平移几个单位，可使平移后所得图像经过坐标原点？直接写出平移后所得图像与坐标轴的另一个交点坐标。

解：（1）由题意设y=a(x-1)2-4，将B（3，0）代入得a=1，故y=(x-1)2-4。

（2）设图像向右平移m(m＞0)个单位，图像正好经过原点，则解析式为y=(x-1-m)2-4，因为经过原点，故将（0,0）代入解析式得m=1，此时函数的解析式为y=(x-2)2-4，与坐标轴的另一个交点为（4,0）。

例2：某公司经销一种文具，每个文具成本为50元。调查发现，在一段时间内，销售量W（件）随销售单价x（元）的变化而变化，具体关系式为；W=-2x+240。设这种文具在这段时间内的销售利润为y（元），回答下列问题：（1）求y与x的关系式；（2）当x取何值时，y的值最大？

解：（1）y=(x-50)W=(x-50)(-2x+240)=-2x2+340x-12000。

（2）y=-2x2+340x-12000=-2(x-85)2+2450，

∴当x=85时，y的值最大，y最大为2450。

总之，二次函数在初中数学的学习中是非常重要的，以上是我在二次函数教学中的一些体会，我认为在二次函数的教学中，教师应以学生为主体，多与学生交流，课后多辅导学生作业，帮助学生提高学习成绩。