常微分方程与代数方程的联系

新疆喀什大学 阿依古再丽·伊斯马伊力

常微分方程和代数方程都属于方程的一种，方程所共有的属性也意味着这两种方程中存在相定的关系。通过加强常微分方程和代数方程之间的联系，不仅可以掌握微分方程理论本身，还可以更充分地了解代数方程。

一、代数方程的基础作用

1．代数因式分解与常微分方程算子解法

因式分解是将代数方程分解为线性微分方程的一种有效手段。

例1 常系数线性微分方程的分析y’’+py’q=f（x） ①

D2+pD+qI[y]=f（x） （微分算子单位I[y]=D"[y]=y） ②

这时,若存在常数α和β，使多项式f（D）可以满足：f（D）=D2+pD+qI[y]=（D-I）（D-1）。

那么方程②是：（D-I）（D-1） [y]=f（x）。这时，令（D-1）[y]=u（x）。则：

（D-I） [u（x）]=f（x） ③

方程③的解为u=eax[f（x）e-axdx+C1], 那么（D-1） [y]=eax[f（x）e-axdx+C1]，因此，y=eβx[e（a-βx）（f（x）e-axdx+C1）dx+C2。

（1）若α≠β，则

（2）若α=β，则

例1的解法则为微分算子解法，它令微分方程的解与代数方程的解形成有机的联系，微分方程阶数的约简与代数方程的因式分解是相同的。

2．切线意义与常微分方程几何解法

常微分方程的解是以积分的形式得到的，但常微分方程中由于较多不可积函数的存在而经常不可解，这将使得本文通过定性分析对常微分方程进行研究。

二、常微分方程的指导作用

1．线性微分方程解的构造与数列通项公式

推出方程①的叠加原理：如果y*是方程①的一个特解，是方程②的通解，那么方程①则有通解为：

根据常系数线性微分方程：

将常微分方程的叠加原理推广到递推序列中，得到了相应的结论。

对于递归数列，其递归方程bn+k+p1an+k-1+…+pkan=f（n）（pi为常数,i=1,2,。。。,k）③，对应的齐次方程是bn+k+p1an+k-1+…+pkan=0④。

若方程④的通解是方程③的一个特解，则方程③有通解是bn=+bn*。

该方法采用常系数线性微分方程解的构造方法，通过类比建立了递推序列解的理论，这是代数中常见的同构关系。例如，代数中的对偶也能够作为同构应用的结果。所以，常微分方程的数学思想与方法能够对代数方程起着关键的指导作用。

2．切线意义与常微分方程几何解法

常微分方程的解是以积分的形式得到的，但常微分方程中由于较多不可积函数的存在而经常不可解，这将使得本文通过定性分析对常微分方程进行研究。

二、常微分方程的指导作用

1．线性微分方程解的构造与数列通项公式

推出方程①的叠加原理：如果y*是方程①的一个特解，是方程②的通解，那么方程①则有通解为：

根据常系数线性微分方程：

将常微分方程的叠加原理推广到递推序列中，得到了相应的结论。

对于递归数列，其递归方程bn+k+p1an+k-1+…+pkan=f（n）（pi为常数,i=1,2,。。。,k）③，对应的齐次方程是bn+k+p1an+k-1+…+pkan=0④。

若方程④的通解是方程③的一个特解，则方程③有通解是bn=+bn*。

该方法采用常系数线性微分方程解的构造方法，通过类比建立了递推序列解的理论，这是代数中常见的同构关系。例如，代数中的对偶也能够作为同构应用的结果。所以，常微分方程的数学思想与方法能够对代数方程起着关键的指导作用。

2．Gauchy问题与Euler三角公式

三角函数作为代数方程的重要组成部分，可以统一为在复数范围内的函数形式。

例3 三角公式证明：

sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ；

cos（α+β）=sinαsinβ+cosαcosβ。

例3 三角公式证明：

sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ；

cos（α+β）=sinαsinβ+cosαcosβ。

解：方程x"+x=0有特解：r=sinu和cosu,那么通解则为：令另令u=α+β, 那么

因此，该三角公式获得证明。

常微分方程和代数方程属于一类方程，它们相互联系。一方面，代数方程在常微分方程的分析中有着基础性的作用。另一方面，常微分方程又指导着代数方程。常微分方程和代数方程的这种相互作用令数学研究提供了高效便捷的方法。