经历探索发现，深度建构概念——《因数与倍数》教材解读及教学建议

○朱 宇

《因数与倍数》是人教版五年级下册第二单元的教学内容，主要包括：因数和倍数，2、5、3的倍数的特征，质数和合数。本单元着重教学自然数之间的因数与倍数关系，求各个自然数的因数与倍数。这些知识能丰富学生对自然数的认识，为后续分数教学做准备。

一、教材变化点

1.通过删减、调整，精简概念。

新教材不再出现“整除”的概念，着重让学生感知因数与倍数的内涵，领悟它们之间的相互依存关系。新教材还精简了分解质因数、互质数等概念，安排在“你知道吗”栏目进行介绍。另外，新教材对公因数、最大公因数和公倍数、最小公倍数等内容做了调整，后移到“分数的意义与性质”单元，作为约分、通分的知识基础。这样处理，既分散了学习难点，又突出了公因数、公倍数的应用价值。

2.优化思维材料，引导探究。

从“2、5的倍数特征”到“3的倍数特征”，再到“质数和合数”，都用百数表贯穿始终，有助于学生在整数特征的探究过程中更好地发现规律，理解概念。教材新增了研究两数之和奇偶性的纯数学问题，让学生经历用算式表征问题——举例、说理、图示——获取结论——举例验证的过程，适度体现数学的抽象性。这样编排，与数论知识本身具有的抽象性以及高年级适度培养抽象思维的要求相适应。

3.重视拓展延伸，积淀素养。

内容精简之后，教材穿插编排了“你知道吗”“生活中的数学”等栏目，安排较多的拓展性知识作为阅读资料提供给学生。例如，介绍完全数的概念，奇数和偶数在日常生活中的应用等，以丰富学生的数论知识，激发探求的欲望，培养学生对学习数学持久而稳定的兴趣。

二、年段衔接点

因数、倍数、质数、合数以及第四单元中的最大公因数、最小公倍数都属于初等数论的基本内容。

在数论中，数的整除理论是最为基本的理论。学习本单元知识之前，学生对整数的认识和四则运算、对乘除法的互逆关系有了一定深度的理解，对倍的认识也比较深刻，这些都是本单元学习的基础。但学生往往把因数和倍数割裂成孤立的运算，认为因数存在于整数、小数乘法运算中，倍数存在于整数、小数除法中，把“倍”和“倍数”混为一谈。

从整个小学学段教材看，本册教材第四单元《分数的意义与性质》是本单元内容的后续，包括最大公因数、最小公倍数、通分和约分。第六单元《分数的加法和减法》中异分母分数加减法也是本单元学习价值的体现。

三、教学难点与破解策略

1.难点之一：学生已有的关于“倍”的认知对“倍数”概念的干扰。

在实际教学中我们发现，学习倍数与因数时，学生往往联想到二年级时就学过的“倍”的知识，并在头脑中把这两个相似的概念“等同”起来。

从数学意义上说，“倍”是指数量之间的关系，建立在乘法概念的基础之上，在实际教学中，是从“个”和“份”逐步抽象出来的数学概念。例如甲绳长1.5米，乙绳长4.5米，如果把甲绳的长度看成1份，那么乙绳的长度就是3份，两者的长度关系就可以说成“乙绳的长度是甲绳的3倍”。

“倍数”是指数与数之间的关系，它是建立在“数的整除”之上，与“因数”同时建立的概念。倍数和因数一样，都必须是非零的自然数。而“倍”则不同，分数、小数都可以表示。

破解策略：

（1）在“式”中追问。因数和倍数是描述自然数之间关系的概念，客观存在于两个具体的自然数之间，因此可以从除法算式出发，引出因数和倍数概念。教学中要注重概念与算式之间的追问，有助于强化倍数、因数概念建立于“式”的感知。

（2）借“图形”表征。可以和操作活动、图形描述结合起来，先形后数，逐步抽象。例如，用12个同样大的正方形拼一个长方形，根据各个长方形中每行正方形的个数与行数，把这三个长方形用乘法算式表示出来，4×3=12，6×2=12，12×1=12。然后以“4×3=12”为例，指出4和3都是12的因数，12是4的倍数，也是3的倍数，再要求学生说出另两道乘法算式里，谁是谁的因数，谁是谁的倍数，初步内化概念。

（3）应用中深化。教师适时引导学生结合生活实例进行思辨，以层层深入的方式在现实情境中找到“倍”与“倍数”的联系与区别。例如，货场有32吨煤，现有载重量分别为5吨、8吨的卡车，用哪一种卡车正好可以装完？为什么？

2.难点之二：发现3的倍数的特征比较难。

3的倍数特征与2和5的倍数特征相比，比较隐蔽，要想找到一个合适的探究思路并不容易。学生习惯性地沿用探究2、5倍数特征的方法，提出猜想，“个位上的数是3、6、9的数是3的倍数”，很难转变思维方式去寻找新的方法。

破解策略：

（1）“百数表”中猜想。在百数表里3的倍数上画“○”，发现3的倍数与2或5的倍数不同，分散在表的各行各列。进而观察到画“○”的数的个位上不都是3、6、9，而有些个位上是3、6、9的数上没有画“○”，它们不是3的倍数。由此得出“3的倍数的特征不表现在数的个位上”。

（2）“计数器”上转化。把3的倍数表示到计数器上，先找些较小的数，再找些较大的数，算出表示每个数所用数珠的颗数。通过交流发现，在计数器上表示3的倍数，需要的数珠会是3颗、6颗、9颗、12颗……而3、6、9、12等数都是3的倍数。接下来引导学生把数珠颗数转化为各位上数的和，初步发现3的倍数的特点。

（3）反例强调特征。找几个不是3的倍数，算算它们各位上数的和。引导学生进一步讨论“如果一个数不是3的倍数，这个数各位上数的和会是3的倍数吗”，从正反两个角度完善认知，进一步确认3的倍数的特征。

3.难点之三：“质数与合数”理解起来存在较大难度。

“质数与合数”的概念相对来说比较抽象，与学生的生活有一定距离。尤其将奇数、偶数、质数、合数这四个概念放在一起，学生会产生思维上的混乱。

破解策略：

（1）实际问题引入。常见的队列队形是学习质数和合数的有效模型。例如，五年级4个班（人数分别为47、49、48、43）的学生参加表演，哪个班能排成整齐的方阵？学生在分析问题的过程中，明确了是否能排成方阵与数的奇偶性无关，与一个数因数的个数有关，初步感受质数、合数的本质。

（2）活动促进理解。设计“找一找”的活动，借助“百数表”，运用“筛法”找出其中所有的质数。学生从中能够体会到：2、3、5、7等质数，除了本身，它们的倍数都是合数（被画去的数）；从2开始，不是质数，就是合数；非0自然数按因数的个数分类，有1、质数、合数三类。

（3）辨析明晰概念。首先从自然数的两种不同的分类中，感受质数和奇数、合数和偶数存在于两种不同的集合之中；其次让学生结合这些数的特点介绍自己的学号是什么样的数，全面认识一些自然数的特性；最后优化一个数是否质数的判断方法，并不要把它所有因数都写出来。如果这个数除了1和它本身，还能再找到另一个因数，就能确认一定是合数。

资料存盘

1.“因数和倍数”课标解读。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》第二学段目标提出：在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力，能进行有条理的思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果；会独立思考，体会一些数学的基本思想；经历与他人合作交流解决问题的过程，尝试解释自己的思考过程；能回顾解决问题的过程，初步判断结果的合理性；在运用数学知识和方法解决问题的过程中，认识数学的价值。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》第二学段课程内容中提出：知道2，3，5的倍数的特征；在1～100的自然数中，能找出10以内自然数的所有倍数；了解自然数、整数、奇数、偶数、质（素）数和合数。

2.学习“因数和倍数”，为什么要把“0”排除在外？

因为整数与自然数都包括0，根据因数和倍数的定义，0是任何非零自然数的倍数，任何非零自然数都是0的因数。特别地，因为0是2的倍数，2是0的因数，所以0是偶数。但是，以后研究最大公因数和最大公倍数时，如果不排除0，很多问题就没有探究的价值。例如，如果把0考虑在内，任意两个自然数的最小公倍数就是0，这样的研究没有任何价值。所以，教材指出本单元所说的数指的是自然数（一般不包括0）。

3.一些常用的数的倍数的判断方法。

9的倍数的特征。一个数各位上数的和是9的倍数，这个数就是9的倍数。

4或25的倍数的特征。如果一个数末尾两位数字所表示的数是4或25的倍数，那么这个数就是4或25的倍数。

8或125的倍数的特征。如果一个数末尾三位数字所表示的数是8或125的倍数，那么这个数就是4或25的倍数。