例谈具体函数抽象化解题

雷亚庆

我们在解决抽象问题时往往把它具体化，便于理解，但是有些具体函数的问题被繁杂的表象掩盖了本质，或解法很明确，却面临繁琐的化简与运算．而这时我们反其道而行之，把具体函数抽象化，利用函数的基本性质来解决问题，往往会收到事半功倍的效果．

例1定义在（-1，1）上的函数f（x）=-5x-sinx，如果f（1-a）+f（1-a2）＞0，则实数a的取值范围为．

分析如果直接导入解析式则所得不等式为

-5（1-a）-sin（1-a）+［-5（1-a2）-sin（1-a2）］＞0．

面对这样复杂的不等式，我们只能望洋兴叹，但如果我们改变思维习惯，利用函数的单调性（问题的本质所在）将其转化为抽象不等式求解，则会大大简化．

解函数y=-5x在（-1，1）上是减函数，因为，函数y=-sinx在（-1，1）上是减函数，所以f（x）=-5x-sinx在（-1，1）上是奇函数，且是减函数．

则f（1-a）+f（1-a2）＞0可化为f（1-a）＞-f（1-a2），即f（1-a）＞f（a2-1），

例2已知函数f（x）为奇函数，且x＞0时，f（x）=x2，且∀x∈［t，t+2］，都 有f（x+t）≥2f（x）恒成立，求t的取值范围．

分析本题可以转化为二次函数问题中的恒成立问题解决，但需要分类，解答会很繁琐，如利用抽象函数的单调性解决则容易得多．

解易求得

从而可以推出函数在R上为单调增函数，且对任意的x∈R，都有，所以问题转化为：

已知抽象函数f（x）在R上单调递增，且对任意的x∈［t，t+2］，都有f（x+t）≥恒成立，求t的取值范围．

所以h（x）max=h（t+2）2），

例3设函数的最大值为M，最小值为m，则M+m=________．

分析该组合函数的最值很难直接求出，如果我们把原函数分解为一个奇函数与常数的和后，利用奇函数的图象与性质则可顺利解决问题．

解化 简=，

即g（x）max+g（x）min=0，

而f（x）max=1+g（x）max，f（x）min=1+g（x）min，

所以f（x）max+f（x）min=2．

平时解题中我们更习惯利用具体函数来帮助理解抽象函数问题，而上述问题则反其道而行之，把具体问题抽象化，利用函数的基本性质来解决问题．通过这样的逆向思维，可以加深对函数性质的理解，完善知识结构，形成良好的思维习惯．

巩固练习

1.已知函数f（x）为奇函数，且x＞0时，f（x）=x2，且∀x∈［-2，2］，都 有f（x+t）≥2f（x）恒成立，求t的取值范围．

2.已知定义在（-1，1）上的函数f（x）=sinx+2x，且有f（1+a）+f（a）＜0，求a的取值范围．

参考答案