函数单调性的判定法及其在高考试题中的解题探讨

李啸骁

【摘要】介绍了函数单调性的定义及几何意义，讨论了函数单调性常用的判定方法.通过对近三年高考中有关函数单调性的题目进行解题探讨发现，导数法在判定函数单调性时，不仅方法简单，而且非常实用.

【关键词】单调性;判定方法;导数法

函数单调性不仅是函数的一个重要特性，还可以用来求函数的极值、证明不等式、解方程和判定方程根的唯一性等，它是高中数学的一个重要知识点.翻阅近几年全国高考试题归纳发现，每年都有一个关于函数单调性的解答小题，可见该知识点的重要性，因此，有必要对函数单调性的判定方法进行探讨.

一、函数单调性的定义及几何意义

同时可以看出，函数曲线在单调增区间上呈上升趋势，而在单调减区间上呈下降趋势，这就是函数单调性的几何意义.如果一函数曲线在某个区间上既有上升趋势，又有下降趋势，那么该函数在该区间上不具有单调性.

二、函数单调性的判定方法

函数单调性的判定最直接的方法就是根据定义来判定，称之为定义法.定义法虽然简单，但是有时难以判定.例如，函数f（x）=1x-x+lnx的单调性，用定义来判定就非常困难.很多学者由定义法提出了直接法、等价定义法，以及复合函数法[2]，但是这些方法在实际的解題中使用起来还是比较麻烦.在高中学习了导数之后，还可以用导数法来判定函数的单调性.即设函数y=f（x）在区间I上可导，若f′（x）>0，则f（x）在区间I上单调递增;若f′（x）<0，则f（x）在区间I上单调递减.导数法使用起来非常方便，只需要先求出f′（x），然后令f′（x）>0解得f（x）的单调增区间，令f′（x）<0解得f（x）的单调减区间.

三、近三年高考中有关函数单调性的题目的解题探讨

近三年来，高考数学题全国卷均在第21题考查了函数的单调性，可见单调性的重要性.

从上述高考题可以看出，函数单调性是重要考点，如果采用定义法或其他方法来判定将会非常困难，而采用导数法不仅方法简单，还非常实用.值得注意的是，题目中的函数往往含有参数a，这就需要我们在解f′（x）>0或f′（x）<0时对a的取值加以讨论.

【参考文献】

[1]刘璐.函数单调性及其在高中数学中的应用[D].西安：西北大学，2015.

[2]彭扬，邹黎敏.函数的单调性及其应用[J].重庆三峡学院学报，2016（3）：13-15.