离散数学中“集合与关系”的学习意义

熊瑜

【摘要】本文通过笔者多年教授离散数学课程中“集合与关系”部分的教学经验，总结学习中遇到的和“集合与关系”相关的知识点，理清这些知识点之间的联系，从而帮助学生更快速地掌握“集合与关系”的学习意义和方法，旨在鼓励学生积极发展抽象思维能力，好好学习离散数学这门课程，不断提高自己的学習能力.

【关键词】离散数学;集合;关系

一、引 言

在离散数学的学习中，“集合与关系”部分可能会被认为是相对容易学习的一部分，但是在笔者多年教授这门课程的过程中，发现并非如此.在中学数学课的学习中习惯于研究的集合就是各种数的集合，关系就是简单的数集合当中大小关系.而对离散数学当中把集合抽象到万事万物都可以因为某种联系构成一个研究对象的群体，并且把它们之间的各种关系也抽象为集合来理解，这些知识点在开始学习阶段对学生而言其实是十分困难的.本文旨在让学生能够在学习“集合与关系”这部分知识时，更加快速有效地掌握从具象思维到抽象思维的方法，从而提升学生的抽象思维能力，为后续学习打下基础.比如，代数系统中群论的拉格朗日定理的学习就需要学生对集合与二元关系之间的联系非常清楚.

二、集合与关系学习的意义

集合是不能用其他概念精确定义的原始概念.我们说当我们把世界上万事万物的任何一部分群体按照某种标准进行归类以后，那么就构成了一个形式上的集合，其因为研究者研究领域的不同，会从不同的出发点研究集合中元素之间特定的关系，而这里的元素远远超越了我们中学研究的简单的数字.因此，你会发现，在研究人群中人与人之间是否有血缘关系，就能够和研究空间解析几何时空间直线的正交关系，研究矩阵理论中矩阵的相似关系一样，可以用相应集合的笛卡尔积的子集合来统一一个标准描述他们的本质.集合的方法研究关系，体现了离散数学的精髓，那就是把具象思维拔高到抽象思维，找到本质.这种知识能力的培养，在后续代数系统的学习当中也得到了充分体现.

以下我们通过用集合的方式把上面一个自然段中出现的例子表示出来，让大家更加加深对“集合与关系”理论抽象概括性的理解.A表示全体人类的集合，

A×A={〈a，b〉|a∈A∧b∈A}则R={〈a，b〉|a∈A∧b∈A∧a与b具有血缘关系}，显然R是笛卡尔积A×A的一个子集合，R是把所有具有血缘关系的人双双配对作为一个序偶的形式出现在我们的集合表示的元素当中.当然我们另外举的两个例子，比如，研究空间解析几何时空间直线的正交关系，我们只要把这里A换成空间全体直线构成的集合，关系R里面的解释换成是直线的正交关系，那么我们的集合表示关系R就与刚才要表示人类的血缘关系是一样的，所以很有意思的事情就是我们可以通过完全相同的数学集合表达式来把这两种表面上完全没有联系的关系表示出来.这样做的意义是我们把本质要表示的东西用集合来表示清楚了，对这种特殊的集合——关系我们就可以研究作为关系呈现出来的效果，通过对“关系”这种特殊的集合性质的研究反过来研究我们要研究的内容.比如，关系的自反性、对称性、传递性，我们就可以得到等价关系的概率.数学的各个分支的学习中或生活中很多研究的关系其实都是等价关系，比如，人类的同姓关系、直线的平行关系、三角形的全等关系、矩阵的相似关系等.越学习，我们会越发现，不仅可以在学习不同学科的时候越来越有归纳总结能力了，同时还在生活当中，发现越来越多的有趣关系，增加了生活的乐趣.

离散数学中当我们已经从集合的观点出发，把各种关系都抽象总结成为一种研究对象，我们会发现之前数学学科当中一直研究的函数这个概念本质上就是一种特殊的关系，从而把事先已经在关系中研究明白的结果平移过来，可能解决了学生在数学学习中一直困扰的问题.在大学的微积分学习中，函数是我们研究极限的载体，极限是微积分学的基础，是微积分学能够成立的基石.大一的理工科类学生，是要花大量的时间在解决函数的求导求积分上的.当他们学完了基础课，又会投入到各自选择的专业中，不断做的事情就是学会把研究领域的问题数学模型化，建立数学模型，其实也就是最终研究量和量之间构成的函数关系.比如，优化问题就要借助建立的函数关系来进行.综上，可以看到我们这种特殊的关系——函数的伟大意义了.

三、小 结

本文旨在和学习离散数学的学生和教师分享一下学习“集合与关系”这部分的心得和意义，让学生们体会到学习是可以深入和深刻的，要有耐心和细心来完善自己的学习方法，要有恒心来不断提高自己的学习能力.数理逻辑的先驱莱布尼兹曾经有一个理想：创造出了一种“通用的语言”，把逻辑推理过程像数学一样利用公式来进行演算，我们现在学习的数理逻辑就实现了这个预想.笔者认为这就是离散数学学习的魅力，培养逻辑思维能力，培养学习能力，让学生在今后任何专业的学习中都能够得心应手，充满自信.

【参考文献】

[1]Kenneth H.Rosen离散数学及其应用（英文版第七版）[M].北京：机械工业出版社，2012.

[2]方景龙，周丽.应用离散数学（第二版）[M].北京：人民邮电出版社，2014.