从《点集拓扑讲义》的一个证明谈子空间的理解与运用

郑言

【摘要】本文从《点集拓扑讲义》的一个定理证明出发，分析了其中出现的一些问题，由此阐述了涉及子空间的概念和定理的理解与应用问题，强调缜密严谨的数学思维对学生的数学素养的重要性.

【关键词】点集拓扑学;子空间;局部连通性;连通分支

子空间是点集拓扑学中的重要概念，它既可以拓展拓撲学的研究范围，也可以帮助我们建立不同拓扑空间之间的联系，而且很多重要的概念，比如，连通子集、紧致子集等都是通过它来定义的，所以掌握好这一概念对后续的学习十分关键.笔者在十余年的教学实践中发现，虽然子空间的定义和相关性质在内容上比较简单，但是这并不代表它可以很容易地灵活运用.本文就以熊金成所著的《点集拓扑讲义（第四版）》为例，探讨其中一个定理证明的理解问题.兹附原书定理和证明如下：

定理4.4.1 （（1）（2））设X是一个局部连通空间，X的任何一个开集的任何一个连通分支都是开集.

证明 设C是X的一个开集U的一个连通分支.如果x∈C，由于U是x的一个邻域，所以x有一个连通邻域V包含于U.又由于V∩C包含着点x所以不是空集，根据定理4.3.1可见VC.因此，C是点x的一个邻域.这证明C是属于它的任何一个点x的邻域，因此，C是一个开集.

其中，所引用的定理4.3.1是指：

定理4.3.1 （1）如果Y是X的一个连通子集，并且

定理4.4.1的证明虽然篇幅不长，但是其中也存在一些“问题”，或者说出现了“跳步”.笔者在教授这一节的时候，发现很多学生都看不出其中的问题，哪怕是在笔者指出后，依然不解其意，所以证明细节就很有探讨的必要了.其实该证明过程有两个问题：

1.因为X是一个局部连通空间，所以V是x在X内的连通邻域，而C是U的连通分支.如果用定理4.3.1，那么应该是在子空间U内应用，需要V是x在U内的连通邻域.所以这里的问题是：V是x在X内的连通邻域是否一定有V是x在U内的连通邻域？

2.当在子空间U内应用定理4.3.1后，得到C是点x的一个邻域，那么这个C也应该是点x在子空间U内的邻域，而我们需要的结论是C是点x在X内的邻域.所以与问题1类似，这里的问题是：C是点x在子空间U的邻域是否一定有C是点x在X内的邻域？

这两个问题其实属于一类问题，就是当所探讨的问题涉及拓扑空间及其子空间时要特别注意一些定理的应用范畴.一定要“因地制宜”，即如果在某个框架下应用定理，那么所得到的结论也只适用于这一框架.所以上面所出现的问题都属于“失位”，而解决的途径就是“归位”.先解决问题2：因为C是点x在子空间U的邻域，所以存在子空间U内的开集W使得x∈WC.由于U是X的一个开集，所以W也是空间X的开集.因此，x∈WC也说明C是点x在X内的邻域.再解决问题1：因为V是x在X内的邻域，所以存在空间X内的开集W～使得x∈W～V.注意到VU而U又是X的开集，所以W～包含在开子空间U内，也是子空间U的开集.因此，又由x∈W～V知此时V还是x在U内的邻域.最后，如果V是空间X内的连通子集，是否一定有V子空间U内的连通子集？这个一般情况下当然是不一定成立，但是此时情形比较特殊，因为U是空间X的开集.如果我们假设V是子空间U内的不连通子集，则在子空间U内存在两个非空无交开集V1和V2，使得V=V1∪V2.特别地，因为U是空间X的开集，所以V1和V2还是空间X的开集，但这就会由V=V1∪V2得出V是空间X内的不连通子集，与假设矛盾.综合以上事实，问题1得到了完满解决.

在上面问题的解决过程中，我们可以看到当涉及子空间的概念出现在问题中时，必须十分小心.一定要仔细甄别各个概念所适用的范围，区分其是在大空间里还是在子空间里适用.应用定理也是这样，找到它的适用范围，结论也只适用于这一范围.在讨论此类问题时也有“捷径”：如果子空间是开子空间，那么开集就可以不加区分地使用;类似地，如果子空间是闭子空间，那么闭集、闭包也可以不加区分地使用.

点集拓扑学是一门高度抽象又严密的数学学科，虽然它隶属于几何大类，但是其内容与分析学十分相近，而研究手法又接近于代数学，知识体系庞大复杂，环环相扣，层层推进.如果在学习过程中疏忽了一些知识，就可能在将来出现短板，会对一些知识点似懂非懂，甚至会掌握地似是而非.不积跬步，无以至千里.笔者希望通过对这个定理的探讨，使广大师生认识到数学学习的严肃性，一定要在起步阶段夯实基础，才能在将来游刃有余.我们可以通过点集拓扑学的研讨提高学生的数学素养，培养他们形成缜密严谨的数学思维.

【参考文献】

[1]Murray Eisenberg.Topology[J].New York：Holt，Rinehart and Winston，Inc，1974.

[2]James R.Munkres.拓扑学[M].熊金城，吕杰，谭枫，译.北京：机械工业出版社，2006.

[3]熊金城.点集拓扑讲义[M].北京：高等教育出版社，1998.

[4]张德学.一般拓扑学基础[M].北京：科学出版社，2012.