“开区间套”的充要条件及其证明与推广

胡力文

【摘要】本文在闭区间套定理的基础上，通过笔者的研究发现，给出了“开区间套”能够“套”出唯一的一点的充分必要条件（即文中的“开区间套定理”）以及它的证明，并且把这一定理推广到了高维情形.

【关键词】开区间套;开区间套定理;开域套;开域套定理

在“数学分析”课程中我们已经知道，实数集R具有一种特性，通常称为完备性或连续性，而有理数集Q却不具备这种特性.实数的完备性使得极限理论乃至整个分析理论能建立在坚实的基础之上.为了描述实数的完备性，我们有6条等价的定理，称为实数的完备性定理，它们分别是确界原理、柯西收敛准则、单调有界定理、闭区间套定理、聚点定理和有限覆盖定理.本文将从闭区间套定理出发，给出“开区间套定理”，并且把它推广为高维情形下的“开域套定理”.

一、一维情形下的讨论

三、结语：一点感悟

“数学分析”是高校数学系本科阶段的一门专业基础课，本身的理论已经相当完善，不再是一个专门的研究方向了.但是，我们在学习“数学分析”的过程中，還是应该多加思考，善于总结，不要满足于课堂与教材上的内容，这样才能有所收获，甚至有所创新，为以后的进一步学习和科研打下扎实的基础.

【参考文献】

[1]华东师范大学数学系.数学分析（上册，第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]华东师范大学数学系.数学分析（下册，第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001.