关注学生发展 实施单元教学

沈华

[摘  要] “单元教学”“关注初中生学力发展”都源于李庾南老师的“自学·议论·引导”教学法，是指基于学生已有的基础，以提升学生学力为宗旨，打破按课时分配的小段教学，对学材进行加工、重组，灵活组织单元教学内容的教学方法. 将单元教学与学生发展需求相结合，这是我校近期深入探究的一项课题.

[关键词] 单元教学;学生发展需求;初三复习课;三角形

数学知识的教学，要关注知识的“生长点”和“延伸点”，把每节课的教学内容放在整体知识体系中，注重知识的结构与体系，处理好局部知识和整体知识的关系，引导学生感知数学知识的整体性[1]. 课程标准指导我们一线教师在教学过程中要考虑知识的整体性，不要把某些整体的知识碎片化，要实施单元教学. 在实施单元教学时，不仅要考虑对教材内容的有机整合，也要考虑学生的发展需求，教学过程就是在教师的引导下，不断地将学生的“最近发展区”转化为现有的发展水平，向潜在的发展水平提升，是一种螺旋式发展的过程[2]. 笔者参加海门市初三复习课研讨活动，并执教了人教版初三复习课“三角形”，尝试立足于学生发展需求，通过单元教学，整合初中数学有关三角形的知识（三角形的边、角、勾股定理、锐角三角函数、等腰三角形，以及全等三角形、相似三角形的关系），整体理解三角形相关知识，力争取得较好的教学效果.

教学流程及设计意图

1. 通过运算，弄清基础知识

师：今天我们研究的“对象”是三角形，它有哪些基本元素？

生：线段、角，其中三角形中的线段包括三角形的边及三条重要线段：中线、角平分线、高线.

今天我们就从三角形的边、角出发，逐渐增加其条件，丰富其情节，复习与三角形有关的知识.

活动一：算一算

问题：如图1，在△ABC中，∠A=70°，你能求出∠B的度数吗？若不能的话，你能添加一个条件，求出∠B的度数吗？你有哪些不同的方法？

[图1]

生1：只给出一个条件∠A=70°，只能得到∠B+∠C=110°，而不能得出∠B的度数.

生2：增加一个条件，如“∠C的度数为60°”，利用三角形的内角和得∠B=180°-70°-60°=50°;或者增加“∠C的外角=120°”这一条件，利用外角等于和它不相邻的两个内角的和来求出∠B的度数.

生3：增加一个条件是∠B与∠C的数量关系，如“∠C=3∠B”，由已知条件得∠B+∠C=110°，这样得到关于∠B，∠C的方程组，从而求出∠B.

生4：增加一个条件是“△ABC为等腰三角形”，这样要分情况讨论：若∠A为顶角，则∠B=（180-70）÷2=55°;若∠A为底角时，∠B为底角的话，∠B=∠A=70°;∠B为顶角的话，则∠C为底角=70°，∠B=180-70-70=40°.

师追问：若∠A=100°呢？

生5：∠A为钝角，只能作为等腰三角形的顶角，故只有一种情况，∠B=（180-100）÷2=40°.

生6：增加一个条件是“△ABC为直角三角形”，这样也要分情况讨论：∠B若为直角，则∠B=90°;若∠C为直角，则∠B=90-70°=20°.

设计意图  基于学生已有的基础，特别是数学基础较薄弱的学生，设置低起点的问题，以激发所有学生学习的积极性. 通过以简单问题为引导，设计开放型问题，学生独立思考，个别回答，其余学生补充，教师适时追问等形式，让学生弄清利用三角形的内角和定理来解决一般三角形、等腰三角形、直角三角形中有关角的计算，总结出分类讨论、方程思想等数学思想方法.

活动二：求一求

问题：如图2，在△ABC中，AB=4，AC=3. BC边的取值范围为______;你能求出BC的长吗？你能添加一个条件，求出BC的长度吗？你有哪些不同的方法？

[图2]

生7：求不出BC的长，但根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，有4-3

生8：添加一个条件“∠A=90°”，则利用勾股定理得BC===5.

师追问：若条件改为△ABC为直角三角形呢？

生9：此时没有明确哪个角是直角，所以要分类讨论：当∠A为直角时，BC=5;当∠C为直角，则AB为斜边，BC===;AC不是最大的邊，∠B不可能为直角，所以BC的长为5或.

生10：类比刚才老师的提问，可以添加一个条件“△ABC为等腰三角形”. 同样要进行分类讨论：若AB，BC为腰，则BC=4;若AC，BC为腰，则BC=3，所以BC=4或BC=3.

师追问：若△ABC为等腰三角形，条件改为AB=4，AC=2呢？

生11：同样要进行分类讨论：若AB，BC为腰，则BC=4;若AC，BC为腰，则出现AC+BC=2+2=4=AB，AB，AC，BC不能组成三角形，所以BC的值只能为4.

生12：添加一个条件“∠A=60°”. 作BH垂直AC于点H（如图3），在Rt△ABH中，可得AH=2，BH=2，所以CH=AC-AH=3-2=1，在Rt△BCH中，利用勾股定理得BC===.

[图3]

师追问：已知△ABC中，AB=4，AC=3.若添加的条件为∠B=30°，BC长度为多少呢？

生13：过点A作AH垂直于BC于点H（如图4）， 在Rt△ABH中，可得AH=2，BH=2，在Rt△ACH中，利用勾股定理得CH===，所以BC=BH+CH=2+.

[图4]

生14：还有一种情况，如图5所示，此时BC=BH-CH=2-. 所以BC长为2+或2-.

[图5]

设计意图  基于学生已有对三角形三边关系、勾股定理、特殊角的三角函数等知识的掌握，通过条件开放以激发所有学生学习的积极性. 通过以开放型问题为引导，学生独立思考，若有困难可进行小组交流讨论，教师适时追问，变式等形式，让学生弄清三角形中有关线段计算的常见类型，总结出通过作高，把一般三角形转化为直角三角形的“化斜为直”的方法，以及三角形的高在形内和形外的“分类讨论”思想.

2. 变式引领，拓展关联知识

活动三：变一变

在△ABC中，AB=4，AC=3.

（1） 如图6，AD为高，且AD=，则BC=______.

[图6]

变式1：若还是这个条件，没有给你图，你会求BC的长吗？

变式2：你会求三角形ABC的面积吗？

变式3：求出某些角的三角函数值.

（2）如图7，AD为三角形的中线，则S ∶ S=______;AD的取值范围为______.

[圖7]

变式1：如图7，取AC的中点E，连接BE，交AD于点O，连接DE，在这个图中你能得到哪些有关三角形以及边、角的结论？

变式2：若△ODE的面积为1，你能求出图中哪些三角形的面积？

（3）如图8，AD为角平分线.

[图8]

①点D到AC，AB的距离是什么数量关系？

②S ∶ S=______.

变式1：若S=4，则是S=______.

变式2：BD ∶ AD=______.

设计意图  基于学生对三角形中重要的三条线段：高、中线、角平分线的理解与掌握，通过合理的变式，串联起初中阶段与之相关的知识点，化零碎为整体. 第（1）题以三角形的高有关问题为引导，复习三角形的面积、勾股定理、三角函数等相应知识，没有明确高的位置，要分形内和形外，提炼出“分类讨论”的思想. 第（2）题以三角形的中线有关的开放型问题为引导，弄清中线的定义，倍长中线构造全等三角形等常用方法. 通过变式1，复习三角形的中位线、相似、位似的定义、性质及应用，可以得出如DE ∶ AB，BO ∶ OE，AO ∶ OD，S ∶ S， S ∶ S 等结果;通过变式2，可以得出各三角形面积与底之比、高之比的关系. 第（3）题以三角形的角平分线有关的问题为引导，利用角平分线的性质，得出两三角形高相等时，面积比等于底之比，变式2是在高相等时，底之比等于面积比.

3. 反思提升，构建知识结构

活动四：讲一讲

（1）体会本节课我们是以三角形的什么基本元素为基础展开研究的？具体研究了三角形哪些内容？

（2）通过本节课的复习，你积累了哪些数学思想、数学方法？

设计意图  通过反思总结，学生说出本节课所研究的内容，师生共同搭建本节课的知识框架图，使得初中阶段与三角形有关的内容通过单元教学，清晰地呈现在师生面前，由零碎的知识点到网状的知识框架图，完成“由点到网”的学习过程.

教后反思

本节初三复习课的教学，不是传统的用大量题目来回顾、复习相应的知识点，而是通过一个基本的三角形，知道某些角或边的量，逐渐添加条件，通过变式、追问等形式，引导学生对相应知识进行回顾、巩固以及综合运用. 学生学力的生成、发展呈现出自主性、开放性、发展性、综合性等特点[3]. 高效复习课应从以下角度思考，从而提高学生的学力.

1. 基于学生发展需求

学生发展需求是指学生在学习过程中提升自我能力的一种欲望. 这一欲望首先建立在已有知识的基础上，教学时要基于学生已有的知识，低起点，缓坡度，螺旋式逐步渐进提升，这样有利于培养学生思考问题的积极性，增强学生的自学能力，建立良好的认知结构，培养、发展数学思维方法和能力.

2. 精选例题，变式引领

初三的复习课，不同于普通章节的复习课，涉及的知识点多、杂，不能靠大量的题目来复习相应的知识点，例题的精选显得尤为重要. 以例题为起点，带动本节课的基础知识点，通过条件开放、变式引领，让学生有更多考虑问题的角度，充分发挥学生的主体作用，复习步步深入，达成本节课的复习目标.

3. 构建单元教学框架图

初三复习课通过知识框架图将相应的知识网状化、系统化，让学生对该单元知识的认识更深入、深刻，感知各个知识点不是零散的、孤立的，而是相互有联系的，让学生从整体视角下理解各知识点，有利于对知识的记忆，提高自身的数学能力.

总之，在初三数学复习教学中，一定要基于学生的发展需求，以学生为教学主体，精心设计例题，强化知识结构，在教师的引导下，最大限度地提高复习效率.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2012.

[2]李庾南. 自学·议论·引导教学论[M]. 北京：人民教育出版社，2013.

[3]李庾南，陈育斌. 中学数学新课程教学设计30例[M]. 北京：人民教育出版社，2007.