整体意识：完善思维结构的一剂良方

马奇

[摘  要] 文章以一堂整体思想习题课实录为例，探讨习题课中，如何渗透整体意识，以达到完善学生思维结构的目的.

[关键词] 整体意识;思维结构;初中数学;运算能力

数学运算是数学核心素养之一，培养学生的运算能力是初中数学教学的目标之一. 因此，在数学教学中，运算能力培养是数学教师的核心任务[1]. 然而，在日常教学中，我们发现：初中学生的运算能力不容乐观，“小错天天有，大错三六九”，归根结底是学生对问题的观察能力不够，分析能力不够. 因此，教师有必要调整教学策略与方法，把运算能力的培养作为数学教学的首要任务. 数学思想是数学的灵魂，也是解题的法宝. 有道是：数学解题，思想先行. 整体思想，是数学解题的重要思想方法之一，是简化运算、优化解题过程的助推器. 然而，学生却不善于利用这种思想. 因此，教师在教学中应渗透整体意识，以达到完善学生思维结构的目的. 为此，笔者在中考复习阶段，给学生上了一堂应用整体思想解题的习题课，下文就是这堂课的实录.

课堂实录

1. 引入例题，认知整体思想

【引例】已知-=4，则的值等于（    ）

A. 6     B. -6    C.   D. -

教师点拨：根据条件显然无法计算出a，b的值，只能考虑在所求代数式中构造出-的形式，再整体代入求解.

学生解答：

=

==6.

教师提问：本题也可以将条件变形为b-a=4ab，即a-b=-4ab，再整体代入求解. 这种解题方法体现了数学解题中的哪种思想？

众学生：整体思想.

教师：对！整体思想，整体思想是指在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，进而对这个问题进行整体处理，它是一种解题方法，更是一种数学思想[2]. 从整体上去认识问题、思考问题，常常能起到化繁为简、变难为易的作用. 这种思想的应用能训练大家思维的灵活性. 我们遇到的整体思想主要有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等. 整体思想不仅在代数问题中应用广泛，在几何问题中也大有用武之地. 只要我们善于观察，就一定能从题目中捕捉到“整体思想”的信息.

2. 小试牛刀，应用整体思想

师：既然整体思想为我们解题打开了快捷的绿色通道. 那么让我们一起来感受一下它的神奇魅力吧. 请同学们合作完成下面几个问题，并选几位交流.

题1已知关于x，y的二元一次方程组3x-ay=5，

x+by=11 的解为x=5，

y=6， 那么关于x，y的二元一次方程组3（x+y）-a（x-y）=5，

x+y+b（x-y）=11的解为______.

题2已知+4

+=，求1872+48

的值.

10分钟后，教师请两位学生上讲台交流并展示.

学生1：对于题1，如果把x=5，

y=6代入3x-ay=5，

x+by=11，解出a，b的值，再代入3（x+y）-a（x-y）=5，

x+y+b（x-y）=11进行求解，应当是可行的，但运算量比较大，相对而言比较烦琐.

解：在方程组3x-ay=5，

x+by=11中令x+y=m，

x-y=n，则此方程组变形为3m-an=5，

m+bn=11，对照第一个方程组即知m=5，

n=6，从而x+y=5，

x-y=6，容易得到第二个方程组的解为

x=，

y=-，这样就避免了求a，b的值，又简化了方程组，简便易操作. 故本题答案为：

x=，

y=-.

学生感悟：本题通过整体加减既避免了求复杂的未知数的值，又简化了方程组，解答直接简便.

学生2：对于问题2，如果我们把题目中的x看成一个未知数来求，然后将它代入1872+48

中求值，计算量非常大，最终结果可能会导致“无功而返”，如果我们把+看成一个整体，通过通分得到，再把它看作一个整体，取其倒数就是，利用这种思路解答，本题就变得轻而易举了.

解：因为+4

+=，即+4

=，故4

= ，则=，所以=. 把=代入得1872+48×=2000.

学生感悟：从本题的解答可以看出，整体思想与换元法类似，把某一部分看作一个整体来处理，能让我们少走弯路，直达目的地.

师：两位同学的分析、解答和感悟都十分精彩，我们为他们的精彩發言鼓掌. （学生热烈鼓掌）

3. 自主练习，升华整体思想

我的课堂我做主. 学生已经初步认识了整体思想在解题中的重要性，接下来，教师要求学生自己查阅资料，找到体现整体思想的练习题，并说出自己的解题感受，允许小组合作完成. 在学生探讨问题时，教师巡视，并回答学生随时提出的问题. 十分钟后选择部分学生交流发言.

学生3： 我说一个代数式求值问题：已知a-b=b-c=，a2+b2+c2=1，求ab+bc+ca的值.

本题用常规思路做，就是由已知条件求出a，b，c的值，再代入待求式计算，解答过程十分烦琐，而注意到由a-b=b-c=可先求出a-c的值，再将ab+bc+ca变形，用a2+b2+c2、a-b、b-c及a-c来表示，这样整体代入之后题目就变得简单多了，解答如下：

由a-b=b-c=，可以得到a-c=. 由（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2=2（a2+b2+c2）-2（ab+bc+ac）得到 ab+bc+ca=（a2+b2+c2）-[（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2]，将a2+b2+c2，a-b，b-c及a-c的值整体代入，可得ab+bc+ca=1-

2+

2+

2=1-×=-.

学生4：我举个数值比大小的例子：若M=123456789×123456786，N=123456788×123456787，试比较M与N的大小.

本题的数值较大，求出后再比较大小显然行不通. 我通过仔细观察发现，这些数都在123456788左右波动，于是不妨将123456788看成一个整体用a代换，于是123456789=a+1，123456786=a-2，123456787=a-1，于是M=（a+1）（a-2）=a2-a-2，N=a（a-1）=a2-a，故M-N=（a2-a-2）-（a2-a）=-2<0，由此可得M

学生5：刚才两位同学举的例子都是代数问题中的整体思想的应用，我认为几何问题中也可以应用整体思想，从而让解答更精彩. 我举例如下：如图1，六边形ABCDEF的六个角都相等，若AB=1，BC=CD=3，DE=2，则六边形ABCDEF的周长等于______.

[图1][B][D][C][E][A][F]

对于这题，我是这样处理的：分别作线段AB，CD，EF的延长线和反向延长线，使它们交于点G，H，P，如图2. 因为六边形ABCDEF的六个角都等于120°，故六边形ABCDEF的每个外角都是60°，故△AHF、△BGC、△DPE、△GHP均为正三角形. 于是GC=BC=3，DP=DE=2， GH=GP=GC+CD+DP=3+3+2=8，FA=HA=GH-AB-BG=8-1-3=4，EF=PH-HF-EP=8-4-2=2. 故六边形ABCDEF的周长为：1+3+3+2+2+4=15.

[图2]

本题采用了整体补形思想，我根据已知图形的特点，将不规则或不完整的图形，通过简单的拼接，补充成规则的或完整的图形，从而将它转化为规则图形加以解决.

……

下课铃响起，学生们却意犹未尽，笔者只好让学生把自己找的相关题目作为今天的作业，明天课上继续交流.

一点感悟

阿基米德曾经说过：“给我一个支点，我就能撬起地球. ”学生在数学学习中，这个“支点”由谁给呢？当然是教师. 教师是课堂教学的组织者、指导者与参与者，更是学生课堂活动的策划者与学生思维的引领者. 平时我们经常埋怨学生，这道题做了很多次还是不会做. 是学生真的不会做，还是教师根本没有教会他？这个问题值得深思. 利用整体思想解题一直是学生的弱点，遇到复杂的问题，他们往往感到茫然. 笔者认为，造成这种现象的原因是教师没有在恰当的时机加以引导与启发. 教师教给学生的知识往往是零散的，没有整体性，因而导致学生思考问题过于片面，只见树木，不见森林，真可谓“不识庐山真面目，只缘身在此山中”. 要彻底改变这种现象，教师应在教学中不断渗透整体思维，帮助学生搭建知识结构和思维框架，如引进思维导图，教师可以课堂上提出一个中心问題，让学生全方位地整体思考，相互补充，就像本节课，不仅激发了学生的学习热情，吸引每个学生参与到课堂活动中来，而且随着问题的解决，学生的整体意识被激发，思维能力也有了很大的提高.

参考文献：

[1]吴海宁. 体悟数学：让数学核心素养的种子在课堂中萌发——以“6.1线段、射线、直线”一课为例[J]. 中学数学杂志，2019（02）.

[2]张新志，周春霞. “合一”何须“分二”——例谈数学解题中的“整体”策略[J]. 中学数学研究（华南师范大学版），2019（01）.