深度归纳零点问题,提高高三复习效率

广东省汕头市聿怀中学(515000) 李虹

函数的零点不仅要求学生具有方程与函数间转换的意识,而且展现了分类讨论,数形结合,化归转化等数学思想方法.重点考查方向是:已知零点个数求参数的范围和证明不等式、证明零点个数问题、讨论零点个数.自新课标实施以来,每年必考,其重要性可见一斑.本文按零点个数分类,试图探索出求解函数零点问题的一般思维模式.

一、有解无解

例1(2013福建文)已知函数(e为自然对数的底数).若直线l:y=kx-1与曲线y=f(x)没有公共点,求k的最大值.

解原命题等价于关于x的方程在R上没有实数解,即关于x的方程:在R上没有实数解.①当k=1时,方程(*)可化为,在R上没有实数解.②当时,方程(*)化为.令g(x)=xex,则有g′(x)=(1+x)ex. 令g′(x)=0,得x=-1,当x∈(-∞,-1)时,g′(x)＜0,g(x)为减函数.当x∈(-1,+∞)时,g′(x)＞0,g(x)为增函数.当x=-1时,,同时当x趋于+∞时,g(x)趋于+∞,从而g(x)的取值范围为,解得k的取值范围是[1-e,1).综上,得k的最大值为1.

点睛本题在考查有没有零点的问题,它的重要标志是有解无解,一般用参变分离法.

解题模板第一步参变分离,构造一个新的函数.第二步求出新函数的值域.第三步根据新函数的值域求出参数的范围.

二、唯一解

例2(2018全国II)已知函数.证明:f(x)只有一个零点.

解由于x2+x+1＞0,所以f(x)=0等价于.设,则g′(x)=,仅当x=0时,g′(x)=0,所以g(x)在R单调递增.故g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点.又,,故f(x)有一个零点.综上,f(x)只有一个零点.

点睛本题重在考查零点存在性问题,它的重要标志是证明只有一个零点,一般用定义法.解题的关键在于将问题转化为求证函数g(x)有唯一零点.

解题模板第一步证明其函数g(x)的单调.第二步再结合零点存在性定理进行论证.

例 3(2015全国I)设函数f(x)=e2x-alnx.已知导函数f′(x)有唯一的零点.证明:当a＞0时,.

′

解可设f(x)在(0,+∞)的唯一零点为x0,当x∈(0,x0)时,f′(x)＜0;当x∈(x0,+∞)时,f′(x)＞0.故f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,所以当x=x0时,f(x)取得最小值f(x0).由于,所以.因为,所以,由两边取对数得:,所以f(x0)=,故当a＞0时.

点睛它的重要标志是条件已知只有一个零点,证明不等式.一般用虚设零点法.

解题模板第一步解题的是将唯一零点假设出来.第二步再利用零点等式,通常会把不同类型的原函数转化为同类函数.第三步求出函数的最值,或者用基本不等式进行论证.

三、多解

例4(2018全国I)已知函数g(x)=f(x)+x+a,若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是( )

A.[-1,0) B.[0,+∞) C.[-1,+∞) D.[1,+∞)

解答因为g(x)存在2个零点,即y=f(x)与y=-x-a有两个交点,f(x)的图象如图,要使得y=-x-a与f(x)有两个交点,则有-a≤1即a≥-1,所以选C.

图1

点睛它的重要标志是条件已知有多个零点,求参数的范围,一般用数形结合法.

解题模板

第一步函数有零点问题转化为方程有根的问题;第二步在同一直角坐标系中,分别画出两个函数的图像,观察并判断两个函数的图像的交点个数;第四步由和图像的交点个数等于函数的零点即可得出结论.

例5(2018全国I)已知函数.若f(x)存在两个极值点x1,x2.证明:.

解因为,要证,所以f′(x)=,令x2-ax+1=0两根x1,x2,得a＞2,x1+x2=a,x1x2=1,令0＜x1＜x2,所以,成立,即要证成立,所以,所以,即要证0(x2＞1).令,可得g(x)在(1,+∞)上为增函数,所以g(x)＞g(1)=0,所以成立,即成立.

点睛它的重要标志是已知有两个零点证明不等式,该题用主元法(以x1为变量),一般用构造法(把x1,x2看做整体,构造函数)、极值点偏移等.

解题模板第一步找出x1,x2的等式关系.第二步把等作为变量,构造新的函数.第三步根据新函数得出结论.

由上面几例可知,求参数范围的通法是参变分离,求零点的个数用数形结合、定义法,不等式证明用虚设零点、构造函数.学生能熟练掌握这5种题型并灵活运用,就能有效突破函数零点这一高考难点.