元素关联：小学数学结构化学习的核心

席爱勇

（淮安工业园区实验学校，江苏 淮安 223001）

数学是一门结构性很强的科学，不仅有逻辑清晰的知识结构，还有科学系统的方法结构。而作为一门学科，数学对于培养学生的认知结构，尤其是思维结构，显得尤为重要。

所谓结构，从系统论的视角看，就是指系统内各组成要素之间相互联系、相互作用的方式。[1]其中系统内各组成要素即元素，相互联系和相互作用的方式即关联。因此，结构从本质上讲即元素关联，结构化即元素关联的过程和方式。

小学数学结构化学习首先要关注数学知识的元素关联，在找准数学知识的元素基础上，厘清它们之间的内外关联，这样才有可能在抓住数学知识本质内涵的基础上生长出知识的“突触”，便于学生连点成线、连线成面、连面成体，建构数学认知结构，发展数学核心素养。可见，元素关联是小学数学结构化学习的核心。

一、元素关联的内涵诠释

所谓元素，即事物最根本的构成要素。数学知识结构中的元素即数学知识结构最根本的构成要素。例如分数的元素有分子、分母、分数线，正方形的元素有边和角，圆的元素有圆心、半径、直径、圆周等。元素关联就是指元素之间以及元素与外界之间的内在联系，数学知识结构的元素关联就是指数学知识内部元素之间的关联以及内部与外部各元素之间的关联。[2]例如，圆的元素关联可以用图1进行表征。

图1 圆的元素关联分析模型

从图1可知，圆的内在元素主要包括圆心、半径和直径。圆心即圆的中心，起确定圆的位置作用；半径即圆的定长，确定圆的大小，是一条线段，一端是圆心，另一端是圆上任意一点，在同一个圆里，半径有无数条，长度都相等；直径即圆的对称轴，也是圆内最长线段，是经过圆心并且两端都在圆上的线段，同样可以确定圆的大小，在同一个圆里，直径有无数条，长度都相等。圆心、半径和直径三者的内在联系是：半径的一个端点在圆心，直径的中心点是圆心，圆内所有半径和直径都交于圆心；直径是由两个半径组成的，或者说直径可以分成两个半径，因此，在同一个圆里，半径长度是直径的一半，直径长度是半径的2倍。圆心与其他知识元素的联系有：圆心也是事物的原点或源点，例如树干的生长原点是树干横切面的圆心，涟漪水波的源点是圆心，光环的源点是圆心等；再如，车轮的轴心是圆心，花心的位置是圆心……半径与其他知识元素的联系有：半径是用钉子和线画圆时线的固定长度，是用圆规画圆时圆规两脚之间叉开的距离，是钟面上旋转的时针、分针、秒针的长度……直径与其他知识元素的联系有：直径是圆对折的折痕，是圆外接正方形的边长，内接正方形的对角线……

二、元素关联的教育价值

1.元素关联有利于理解数学知识的本质内涵，融通形与神的内在联系

元素关联即事物内在的本质联系，数学知识的元素关联，直接触及数学知识的内在本质、关系和变化规律，有利于教师和学生对数学知识本质内涵、内在关系和变化规律的理解和把握，赋予数学知识本质意义诠释，分清数学知识的本质属性和非本质属性，融通数学知识形与神的内在联系。

2.元素关联有利于实现数学知识的形态转换，融通教与学的内在联系

数学知识有三种形态：学术形态、学科形态和学习形态。数学知识的学术形态以理论形式存在，表征形式主要有符号表征、文字表征和图像表征；数学知识的学科形态以教材形式存在，表征形式主要有符号表征、文字表征、图像表征和情境表征；数学知识的学习形态以学材形式存在，表征形式主要有情境表征、动作表征、实物表征、图像表征、口语表征、文字表征和符号表征等。从数学知识的学术形态走向学科形态，是一个围绕数学元素关联不断情境化（问题情境化、意义情境化、应用情境化）的过程；从学科形态走向学习形态是一个围绕数学元素关联不断动态化（情境创设动态化、发生发展动态化、意义建构动态化、抽象模型动态化）的过程。总之，从学术形态走向学习形态，是一个围绕数学元素关联不断生活化、直观化、趣味化、儿童化的过程，让数学知识表征形式不断丰富，不断长出知识“突触”，以便于和学生已有知识经验进行关联的过程，也是教师教的设计过程，体现教师的专业理解和专业创造。反之，从数学知识的学习形态走向学科形态，是一个围绕数学元素关联不断程序化、概念化的过程，从学科形态走向学术形态是一个围绕数学元素关联不断符号化、形式化的过程，从学习形态走向学术形态，表征形式不断简化，逐步建构图式结构，是学生学的发生过程，有利于发展学生的直观程序思维和抽象形式思维。因此，把握元素关联有利于实现数学知识不同形态之间灵活而科学的转换，有效融通教与学的内在联系。

3.元素关联有利于实现元素中心的转换，融通学和用的内在联系

数学知识无论哪种形态怎么转换，根本构成要素即元素是始终不变的，其本质都是围绕元素中心的转移、转换和转变。如在《圆的认识》一课（参见图2）中，识圆是从认识圆的直径开始的，将圆对折形成圆的直径，多次从不同方向对折形成圆心，圆心将直径一分为二形成两条半径，是沿着“直径—圆心—半径”的认知路径展开的；而画圆是从确定圆心的位置开始，然后确定半径的长短，再画出圆的直径，沿着“圆心—半径—直径”的认知路径展开的；用圆则常常又以圆的半径为中心，沿着“半径—直径—圆心”或“半径—圆心—直径”的认知路径展开。如“8名同学做投篮游戏，怎样站最公平？”的讨论，首先考虑的是每位同学离篮子距离都相等，即根据圆的半径处处相等来确定每位同学的站位，然后考虑篮子的位置，即圆心的位置，最后考虑在多大的地方举行，即圆的直径。又如求圆的周长、面积常常都是要先找到圆的半径。因此，元素关联有利于实现元素中心的转换，融通学和用的内在联系。

图2 基于元素关联的中心转换模型（以《圆的认识》为例）

4.元素关联有利于实现结构思维的品质提升，融通识与智的内在联系

元素关联分析既是切中数学知识本质内涵、内在联系和变化规律的分析，也是整体、系统、结构化的分析，有利于学生整体建构认知图式结构。基于元素关联分析的数学学习，能够让数学知识的呈现方式和学生的认知思维方式合拍，活动的组织形式和学生学习的展开方式合拍，形态情境的转换过程和学生思维发展轨迹合拍，教师可以实现引导学生轻松抓住数学知识内在本质、关系和变化规律，建构数学认知图式结构和结构化思维方式，进行结构化思维，提升结构化思维品质，从根本上发展学生数学核心素养。

三、元素关联的实践表达

1.学理分析，厘清思路

学理即学习背后的原理，主要包括数学知识的原理和学生认知的原理两个方面。关于数学知识的原理即数学知识的本质、元素、关联、结构等内在规律，学生认知的原理即学生认知的发生、发展、关联、建构等内在规律。学理分析，有助于帮助教师厘清数学知识的来龙去脉，建构数学知识结构，深刻认识学生的认知发生发展序列，帮助学生建构认知结构。

（1）厘清数学知识来龙去脉

学生在学习《圆的认识》一课之前，已经认识过长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形等平面图形，从圆柱体、球体中整体感知过圆，从物体上描画过圆，这是学生已有的知识基础。苏教版义务教育教科书《圆的认识》一课教材内容都是基于学生的已有知识基础展开的：从日常生活世界圆形物体中整体感知圆，并从中抽象出作为数学研究对象的圆；通过圆和以前学过的平面图形对比分析，整体感知圆是由曲线围成的平面图形；用多种办法画圆；在此基础上认识圆心、半径、直径以及表示方法和各自作用；用圆规画指定半径或直径的圆；发现圆的特征；圆的实践应用和价值欣赏。为后面学习圆周率、圆的周长、面积计算等知识做好铺垫。

（2）厘清学生认知发展序列

在《圆的认识》一课中，学生遵循着“整体—部分—整体”的认知发展序列，具体来说，先从日常生活物体中整体感知圆；在圆与球体、圆与其他平面图形的对比中认识到圆是由曲线围成的平面图形；在用多种方法画圆中认识圆的各部分名称：圆心、半径、直径，各自表示方法和作用，通过用不同方法画圆体会到圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合或运动轨迹；进一步学习用圆规画指定半径和直径的圆；在活动体验中发现圆的各种特征、各部分之间的内在联系和各自作用；最后在实践应用中整体感悟圆的多元价值。

2.学情调研，探明学生

美国教育心理学家奥苏泊尔指出：“影响学习唯一最重要的因素，就是学习者已经知道了什么。要探明这一点，并应据此进行教学。”学情调研即对学生学习情况的调查研究，既要探明学生已有认知基础，也要探明学生认知发展需求，在现实基础和可能发展之间寻求学生的“最近发展区”。

例如，在《圆的认识》上课之前，笔者设计了课前自主学习单（略），旨在通过学生的自主学习和问题回答，发现学生的已有认知基础和认知发展需求。

（1）探明学生已有认知基础

通过学情调查发现，100%的学生能够从日常生活中找到圆形物体，如大饼、圆盘、太阳、月亮等，并能从物体中描画出圆；100%的学生知道球是立体图形，而圆是平面图形；83%的学生能够认识到圆是由曲线围成的平面图形，而我们以前学过的长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形都是由线段围成的平面图形；60%的学生自己能够发现，同一个圆里，半径有无数条、长度都相等，直径有无数条，长度都相等，直径长度是半径的2倍，半径长度是直径长度的一半。以上是教师不需要教育引导，学生自己就能够学会的数学知识和解决的问题。

（2）探明学生认知发展需求

通过学情调查发现，68%的学生用圆规画圆的方法技能不熟练，需要加以指导和练习；95%的学生想不到用钉子和线画圆，需要教师启发、引导和示范；85%的学生还不能认识圆心、半径、直径以及表示方法和各自作用，体会不到圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合或运动轨迹；72%的学生需要引导才能发现规律，圆是轴对称图形，直径就是圆的对称轴，圆有无数条对称轴；90%的学生不能发现“在一个圆里所画的线段中，直径最长”；87%的学生不能运用圆的特征和规律解释生活现象，如“为什么车轮一定是圆形的？”“为什么涟漪一定是圆形的？”“为什么说在一切平面图形中，圆是最美的？”等，这些都是需要教师引导的学生最近发展区的认知发展需求。

3.学材开发，配置资源

学材即学习支撑材料，既包括直接支撑学习的教科书、参考用书、课件、图片、视频以及生活中的物体、模型等各种体验性学材资源，也包括间接支撑学习的学生尺、圆规、剪刀、钉子、锤子等各种工具性学材资源。学材开发、合理配置学材资源，有利于引导学生积极参与到数学活动中去，从直观操作入手，逐步抽象概念。

（1）配置体验性学材资源

圆，存在于自然界，存在于人类社会，也存在于学生已经认识的圆柱体、球体等立体图形中，还存在于旋转运动中。因此，我们需要配置自然界中圆形物体或图片，如荷叶、水果切面、树干截面、涟漪等；也要配置人类社会中圆形物体或图片，如车轮、钟面、建筑物、工艺品；还要配置已经认识的圆柱体、球体等立体模型或图片；当然，风叶旋转形成圆、溜冰旋转形成圆、施工现场绕点画圆、圆规画圆等视频也是需要配置的重要资源，这些资源都是可供学生直接观察的圆的体验性学材资源。当然，还有和圆进行对比的以前学过的平面图形图片如长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形，圆的半径、直径、圆心概念的文字介绍课件或PPT等也是需要配置的重要学材资源。

（2）工具性学材资源

《圆的认识》还需要配置如钉子、线、学生尺、圆规、剪刀、圆形纸片、正三角形纸片、正方形纸片、正五边形纸片、正六边形纸片等活动工具性学材资源，让学生在多样化的画圆、量圆、剪圆、折圆、旋转活动中感悟圆的内外元素关联，为发展学生结构化思维提供物质支撑和活动保障。

4.学程设计，立体呈现

学程即学习的进程，既要考虑数学知识的展开序列，也要考虑学生思维的发展序列；既要进行学的设计，也要进行教的设计。基于结构化思维的学程设计模型如图3。

数学知识的展开序列可以通过环环相扣的主题问题链形式呈现，如《圆的认识》一课我们可以设计如下几个问题：

连续环节问题一：圆是怎么来的？

关联环节问题二：圆里有什么？

推进环节问题三：怎样画圆？

循环环节问题四：你想对圆说些什么？

图3 基于结构化思维的学程设计模型图

对应学生思维发展序列依次是：直观思维——程序思维——抽象思维——形式思维。依据数学知识展开序列和学生思维发展序列，教的设计可以分为如下几个环节：问题情境——互动交流——总结提炼——实践应用。学的设计可以对应的分为如下几个环节：观察操作——描述分析——意义建构——拓展提升。使用备课轴，《圆的认识》一课具体学程设计如图4。

图4 基于结构化思维的备课轴模型（以《圆的认识》为例）

教的设计以数学知识展开序列为依托，彰显数学知识结构的形成过程；学的设计以学生思维推进序列为依据，彰显学生认知结构的形成过程；教与学的设计有机统一在一根备课轴上，便将数学知识结构与学生认知结构形成过程有机统一起来，相互渗透，相互融合，最终形成学生的素养结构。这样的备课轴，可以让教师教有结构、教有思路、教得深刻、教得灵动；可以让学生学有结构、学有思路、学得深刻、学得轻松。

5.学评导引，推进反思

元素关联，可以从数学知识的元素关联，走向数学认知、思维方法的元素关联，最后走向数学核心素养的元素关联。以学评为导引，推进反思是实现元素关联迁移转化的推进器。例如，《圆的认识》一课我们可以引导学生进行如下的学评反思：“认识了圆，你还想对圆说些什么？”让学生展开想象的翅膀，进一步拓展思维空间，让元素关联结构变得开放起来，学生自然从半径、直径向圆周长、圆面积延伸。“你认为这次圆的学习经历对以后学习有什么帮助？”在学评反思中注重学习方法、研究方式、思维方式的元素关联和相互融通，推进结构化思维方式的转变，从根本上提升结构化思维水平和品质。

可见，基于元素关联的小学数学结构化学习是数学学习的重要范式，需要从学理层面厘清数学知识结构和学生认知结构：从学情层面探明学生的已有认知基础和认知发展需求，精准定位学生的“最近发展区”；从学材层面合理配置各种资源，进行优化组合，支撑学生数学学习的真正发生；从学程层面精心设计数学知识、教、数学知识结构、学生思维、学、学生认知结构的发展序列，用备课轴将其有机组合成一个整体；最后从学评层面推进反思，让学生实现元素关联和相互融通，从根本上促进学生数学核心素养的不断发展。[3]▲